問題編
【問題】
座標平面上で、放物線$\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}$を$C_1$とし、放物線$\displaystyle y=\frac{1}{4} x^2$を$C_2$とする。(1)
実数aに対して、2直線$x=a$、$x=a+1$と$C_1$、$C_2$で囲まれた図形Dの面積Sは
\begin{eqnarray}
S
&=&
\int_a^{a+1} \left(\frac{1}{[ア]}x^2 + \frac{1}{[イ]} \right)dx \\[5pt] &=&
\frac{a^2}{[ウ]}+\frac{a}{[エ]}+\frac{[オ]}{[カキ]}
\end{eqnarray}
である。Sは$\displaystyle a=\frac{[クケ]}{[コ]}$で最小値$\displaystyle \frac{[サシ]}{[スセ]}$をとる。(2)
4点$(a,0),(a+1,0),(a+1,1),(a,1)$を頂点とする正方形をRで表す。aが$a\geqq 0$の範囲を動くとき、正方形Rと(1)の図形Dの共通部分の面積をTとおく。Tが最大となるaの値を求めよう。直線$y=1$は、$C_1$と$(\pm[ソ],1)$で、$C_2$と$(\pm[タ],1)$で交わる。したがって、正方形Rと図形Dの共通部分が空集合にならないのは、$0\leqq a \leqq [チ]$のときである。
$[ソ] \leqq a \leqq [チ]$のとき、正方形Rは放物線$C_1$とx軸の間にあり、この範囲でaが増加するとき、Tは[ツ]。[ツ]に当てはまるものを、次の0～2のうちから一つ選べ。
0: 増加する、 1:減少する、 2:変化しない
したがって、Tが最大になるaの値は、$0\leqq a \leqq [ソ]$の範囲にある。
$0\leqq a \leqq [ソ]$のとき、(1)の図形Dのうち、正方形Rの外側にある部分の面積Uは
\[
U=\frac{a^3}{[テ]}+\frac{a^2}{[ト]}
\] である。よって、$0 \leqq a \leqq[ソ]$において
\[
T=-\frac{a^3}{[ナ]}-\frac{a^2}{[ニ]}+\frac{a}{[ヌ]}+\frac{[オ]}{[カキ]} \quad \cdots ①
\] である。①の右辺の増減を調べることにより、Tは
\[
a=\frac{[ネノ]+\sqrt{[ハ]}}{[ヒ]}
\] で最大値をとることがわかる。
【考え方】
(1)はグラフを描けば、何を計算するかはそんなに難しくないでしょう。微分・積分の範囲としては、基本的な問題です。
(2)は誘導は丁寧ですが、意図を読み取るにはきちんとグラフが描けないといけません。$a=1$の前後で状況がどう変わるかを把握する必要があります。
Uが出てくるあたりから計算量が増えていきますが、センター試験ではよくある分量です。最後は、最大値まで求める必要はないので、無駄な計算はしないようにしましょう。