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センター試験 数学II・数学B 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列
\[
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5}, \cdots
\]を$\{a_n\}$とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、それ以上約分できない形で答えよ。

(1)
$\displaystyle a_{15}=\frac{[ア]}{[イ]}$である。また、分母に初めて8が現れる項は、$a_{[ウエ]}$である。

(2)
kを2以上の自然数とする。数列$\{a_n\}$において、$\displaystyle \frac{1}{k}$がはじめて現れる項を第$M_k$項とし、$\displaystyle \frac{k-1}{k}$が初めて現れる項を第$N_k$項とすると
\begin{eqnarray} M_k &=& \frac{[オ]}{[カ]}k^2 - \frac{[キ]}{[ク]}k + [ケ] \\[5pt] N_k &=& \frac{[コ]}{[サ]}k^2 - \frac{[シ]}{[ス]}k \end{eqnarray}である。よって、$\displaystyle a_{104}=\frac{[セソ]}{[タチ]}$である。

(3)
k2以上の自然数とする。数列$\{a_n\}$の第$M_k$項から第$N_k$項までの和は、$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}k-\frac{[ト]}{[ナ]}$である。したがって、数列$\{a_n\}$の初項から第$N_k$項までの和は\[\frac{[ニ]}{[ヌ]}k^2-\frac{[ネ]}{[ノ]}k\]である。よって\[\sum_{n=1}^{103} a_n = \frac{[ハヒフ]}{[ヘホ]}\]である。

【考え方】
群数列ですね。これはよく練習しておかないと解けません。

(1)は、これくらいであれば書き出した方が早いです。どういう数列なのかを把握する意味も込めて、書き出してみましょう。

(2)から少しハードルが上がります。「分母が同じ分数がいくつあるか」を考えましょう。 $M_k$ と $N_k$ の2つを求めないといけませんが、片方が求まればそれを利用してもう片方も出します。また、間違いを防ぐために、検算も行いましょう。

(3)は和の公式を使って解きます。最後の和は、「キリのいいところまで足して不要な項を引く」という出し方が楽です。


解答編

【問題】
真分数を分母の小さい順に、分母が同じ場合には分子の小さい順に並べてできる数列
\[
\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5}, \cdots
\]を$\{a_n\}$とする。真分数とは、分子と分母がともに自然数で、分子が分母より小さい分数のことであり、上の数列では、約分できる形の分数も含めて並べている。以下の問題に分数形で解答する場合は、解答上の注意にあるように、それ以上約分できない形で答えよ。

(1)
$\displaystyle a_{15}=\frac{[ア]}{[イ]}$である。また、分母に初めて8が現れる項は、$a_{[ウエ]}$である。

【解説】
分母が2の分数は1つ、分母が3のものは2つ、4のものは3つ、5のものは4つ、6のものは5つです。ここまでの個数を全部足すと、15なので、 $a_{15}$ は、分母が6のもので一番最後に出てくるもの、つまり、 $\frac{5}{6}$ です。

また、分母にはじめて8があらわれる項は、分母が7のものまでがすべて出てきた「次」です。分母が7のものは6個あるので、さきほどの結果とまとめると、分母が7以下のものは、15+6=21個。よって、この次の22項目で、初めて分母に8が出てきます。

【解答】
アイ:56
ウエ:22

【問題】
(2)
kを2以上の自然数とする。数列$\{a_n\}$において、$\displaystyle \frac{1}{k}$がはじめて現れる項を第$M_k$項とし、$\displaystyle \frac{k-1}{k}$が初めて現れる項を第$N_k$項とすると
\begin{eqnarray} M_k &=& \frac{[オ]}{[カ]}k^2 - \frac{[キ]}{[ク]}k + [ケ] \\[5pt] N_k &=& \frac{[コ]}{[サ]}k^2 - \frac{[シ]}{[ス]}k \end{eqnarray}である。

【解説】
(1)の流れからもわかる通り、 $\displaystyle \frac{1}{k}$ が初めて出てくるときは、分母が $k-1$ までのものがすべて出終わった「次」のタイミングです。分母が $k-1$ のものは、 $k-2$ 個あるので、分母が $k-1$ までの個数は、1から $k-2$ までの和となります。よって、和の公式から、
\begin{eqnarray} M_k &=& \frac{1}{2}(k-2)(k-1)+1 \\[5pt] &=& \frac{1}{2}k^2 - \frac{3}{2}k + 2 \end{eqnarray}となります。

テストでは計算間違いをしていないか確認するために、 $k=2$ としたときに、ちゃんと $M_2=1$ となるか確認しておきましょう。

第 $N_k$ 項は、数列 $\{a_n\}$ ではじめて $\displaystyle \frac{k-1}{k}$ が出てくる項です。 $\displaystyle \frac{k-1}{k}$ は $\displaystyle \frac{1}{k}$ の $(k-2)$ 個後に出てくるので、 $M_k$ の結果を使えば、
\begin{eqnarray} N_k &=& \frac{1}{2}k^2 - \frac{3}{2}k + 2 + (k-2) &=& \frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{2}k \end{eqnarray}となります。

これも、 $k=2$ としたときに、ちゃんと $N_2=1$ となるか確認しておきましょう。

【解答】
オカキクケ:12322
コサシス:1212

【問題】
よって、$\displaystyle a_{104}=\frac{[セソ]}{[タチ]}$である。

【解説】
上の結果を使って考えます。式を見ると、$N_k$の方が扱いやすいのでこちらを使って考えます。
\[
N_k=\frac{1}{2}k^2 - \frac{1}{2}k
\]ですね。

まず、$a_{104}$の分母が何か、つまり、$k$が何かを考えていきましょう。仮に、$\frac{k-1}{k}$の形だとして、$N_k=104$となる$k$があるか考えてみます。先ほどの結果に代入すると、$k^2-k=208$です。$k$に適当に数字を入れていくと、1415の間であることがわかります。

これをもとに計算してみると、$N_{14}=91$、$N_{15}=105$であることがわかります。よって、$a_{105}=\frac{14}{15}$であることがわかるので、$a_{104}=\frac{13}{15}$となります。

【解答】
セソタチ:1315

【問題】
(3)
k2以上の自然数とする。数列$\{a_n\}$の第$M_k$項から第$N_k$項までの和は、$\displaystyle \frac{[ツ]}{[テ]}k-\frac{[ト]}{[ナ]}$である。

【解説】
第$M_k$項から第$N_k$項までの値は、分母が$k$で、分子が1から$k-1$までの分数であることがわかります。よってこれらの和は
\begin{eqnarray} \frac{1}{k} \times \frac{1}{2}(k-1)k = \frac{1}{2}k - \frac{1}{2} \end{eqnarray}となります。

【解答】
ツテトナ:1212

【問題】
したがって、数列$\{a_n\}$の初項から第$N_k$項までの和は\[\frac{[ニ]}{[ヌ]}k^2-\frac{[ネ]}{[ノ]}k\]である。

【解説】
先ほどの結果から、第$M_k$項から第$N_k$項までの和は$\frac{1}{2}k - \frac{1}{2}$です。初項から第$N_k$項までの和は、これを、2から$k$まで足したものなので、和の公式から、
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{2}\times\left\{\frac{1}{2}k(k+1)-1\right\} - \frac{1}{2}(k-1) \\[5pt] &=& \frac{1}{4}k^2+\frac{1}{4}k-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{4}k^2 -\frac{1}{4}k \end{eqnarray}となります。

【解答】
ニヌネノ:1414

【問題】
よって\[\sum_{n=1}^{103} a_n = \frac{[ハヒフ]}{[ヘホ]}\]である。

【解説】
(2)の最後に計算した結果から、$\displaystyle a_{104}=\frac{13}{15}$であり、$\displaystyle a_{105}=\frac{14}{15}$なので、「初項から第$N_{15}$項」までを足してから、この不要な2項を消せば出せます。よって、
\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{103}a_k &=& \frac{1}{4}\times15^2 -\frac{1}{4}\times15 -\frac{13}{15} -\frac{14}{15} \\ &=& \frac{105}{2} -\frac{9}{5} \\ &=& \frac{507}{10} \\ \end{eqnarray}となります。

【解答】
ハヒフヘホ:50710

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