センター試験数学II・数学B 2016年度第1問 [2] 解説

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問題編

問題

　k を正の定数として\[ \cos^2 x -\sin^2 x + k \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) = 0 \quad \cdots ① \]を満たす x について考える。

(1) $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす x の個数について考えよう。

　①の両辺に $\sin^2x\cos^2x$ をかけ、2倍角の公式を用いて変形すると\[ \left( \frac{\sin^2 2x}{\myBox{チ}} - k \right) \cos 2x=0 \quad \cdots ②\]を得る。したがって、k の値に関係なく、$x=\dfrac{\pi}{\myBox{ツ}}$ のときはつねに①が成り立つ。また、$0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $0\lt \sin^2 2x \leqq 1$ であるから、$k \gt \dfrac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}$ のとき、①を満たす x は$\dfrac{\pi}{\mybox{ツ}}$ のみである。一方、$0\lt k \lt \dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}$ のとき、①を満たす x の個数は $\myBox{ナ}$ 個であり、$k=\dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}$ のときは $\myBox{ニ}$ 個である。

(2) $k=\dfrac{4}{25}$ とし、$\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす x について考えよう。

　②により $\sin 2x = \dfrac{\myBox{ヌ}}{\myBox{ネ}}$ であるから\[ \cos 2x = \frac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒ}} \]である。したがって\[ \cos x = \frac{\sqrt{\myBox{フ}} }{\myBox{ヘ}} \]である。

考え方

(1)の前半で、倍角の公式を逆に使うところはノーヒントだと難しいかもしれませんが、「倍角の公式を使う」と書いてあるので問題ないでしょう。$\sin 2x$も$\cos 2x$もあるので、どちらも使う必要があります。

解の個数は、重解に気を付ける必要があります。前半の変形さえできれば、それほど難しくはないでしょう。

(2)も(1)ができれば迷うところはなさそうです。

解答編

問題

　k を正の定数として\[ \cos^2 x -\sin^2 x + k \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{1}{\sin^2 x} \right) = 0 \quad \cdots ① \]を満たす x について考える。

(1) $0 \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす x の個数について考えよう。

　①の両辺に $\sin^2x\cos^2x$ をかけ、2倍角の公式を用いて変形すると\[ \left( \frac{\sin^2 2x}{\myBox{チ}} - k \right) \cos 2x=0 \quad \cdots ②\]を得る。

解説

\begin{eqnarray} \cos^2 x-\sin^2 x+k\left( \frac{1}{\cos^2 x} -\frac{1}{\sin^2 x} \right)=0 \end{eqnarray} の両辺に、$\sin^2x\cos^2x$ をかけると
\begin{eqnarray} \sin^2x\cos^2(\cos^2 x-\sin^2 x) + k( \sin^2 x -\cos^2 x )=0 \end{eqnarray} 2倍角の公式より、$\sin 2x=2\sin x \cos x$、$\cos 2x = \cos^2 x-\sin^2 x$ だから、この式は、
\begin{eqnarray} \frac{\sin^2 2x}{4}\cos 2x -k \cos 2x=0 \\ \left( \frac{\sin^2 2x}{4} -k \right)\cos 2x=0 \end{eqnarray} と変形できます。

解答

チ：4

解答編つづき

問題

したがって、k の値に関係なく、$x=\dfrac{\pi}{\myBox{ツ}}$ のときはつねに①が成り立つ。また、$0\lt x\lt \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $0\lt \sin^2 2x \leqq 1$ であるから、$k \gt \dfrac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}$ のとき、①を満たす x は$\dfrac{\pi}{\mybox{ツ}}$ のみである。一方、$0\lt k \lt \dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}$ のとき、①を満たす x の個数は $\myBox{ナ}$ 個であり、$k=\dfrac{\mybox{テ}}{\mybox{ト}}$ のときは $\myBox{ニ}$ 個である。

解説

先ほどの結果から、k の値に関係なく、$\cos 2x=0$ のときは解になります。このときの x は、$2x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき、つまり、$x=\dfrac{\pi}{4}$ です。

次に、$\dfrac{\sin^2 2x}{4} -k=0$ の部分を考えます。$0\lt x \lt\dfrac{\pi}{2}$ のとき、$0\lt \sin^2 2x \leqq 1$ となるので、$0\lt \dfrac{\sin^2 2x}{4} \leqq \dfrac{1}{4}$ だから、$k\gt \dfrac{1}{4}$ のときは、これを満たすものはありません。もとの方程式の解は、先ほど求めた $x=\dfrac{\pi}{4}$ だけになります。

また、$0 \lt k \lt \dfrac{1}{4}$のときは、$\dfrac{\sin^2 2x}{4} -k=0$ の解は2つあり、どちらも $\dfrac{\pi}{4}$ とは異なります。よって、もとの方程式の解は全部で3つになります。

$k=\dfrac{1}{4}$ のときは、$\dfrac{\sin^2 2x}{4} -k=0$ の解は1つですが、このとき、$\sin^2 2x=1$、つまり、$x=\dfrac{\pi}{4}$ なので、もとの方程式の解は1つだけになります。これを「2個」と答えてしまうのは間違いです。

解答

ツ：4
テト：14
ナ：3
ニ：1

解答編つづき

問題

(2) $k=\dfrac{4}{25}$ とし、$\dfrac{\pi}{4} \lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で①を満たす x について考えよう。

　②により $\sin 2x = \dfrac{\myBox{ヌ}}{\myBox{ネ}}$ であるから\[ \cos 2x = \frac{\myBox{ノハ}}{\myBox{ヒ}} \]である。したがって\[ \cos x = \frac{\sqrt{\myBox{フ}} }{\myBox{ヘ}} \]である。

解説

先ほどの(1)で考えた内容から、$\dfrac{\sin^2 2x}{4} -k=0$ が成り立つ時を考えればよいことがわかります。$k=\dfrac{4}{25}$ なので、$\sin^2 2x=\dfrac{16}{25}$ となります。今考えている範囲では、$\sin 2x$ は正なので、$\sin 2x=\dfrac{4}{5}$ となります。

この $\sin 2x=\dfrac{4}{5}$ と、$\sin^2 2x+\cos^2 2x=1$ であることと、$\dfrac{\pi}{4}\lt x \lt \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos 2x$ が負であることを合わせると、$\cos 2x=-\dfrac{3}{5}$ であることがわかります。

2倍角の公式より、$\cos 2x=2\cos^2 x-1$ であり、今考えている範囲で $\cos x$ は正なので、
\begin{eqnarray} -\frac{3}{5} = 2\cos^2 x-1 \\ \cos^2 x = \frac{1}{5} \\ \cos x = \frac{\sqrt{5} }{5} \\ \end{eqnarray}となります。