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センター試験 数学I・数学A 2014年度追試 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$定数 a, b, c は $a+b+c=1$, $ab+bc+ca=-2$, $abc=-1$ を満たすとする。

(1) $a^2+b^2+c^2=\myBox{ア}$, $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\myBox{イ}$ である。

 次に、 $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\mybox{イ}$ の両辺を2乗することで\[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\myBox{ウ} \]であることがわかる。

(2) x の2次式 A を\[ A=\left(ax-\frac{1}{a}\right)^2 +\left(bx-\frac{1}{b}\right)^2 +\left(cx-\frac{1}{c}\right)^2 \]とおく。\[ A=\myBox{エ}x^2 -\myBox{オ}x +\myBox{カ} \]であり、 $A=7$ を満たす x の値は $\displaystyle \frac{\myBox{キ} \pm \sqrt{\myBox{クケ} }}{\myBox{コ} }$ である。

考え方

式の値でよく出題される形式の問題です。与えられた式を変形したり、求めたい式を変形して、わかっている値が代入できるようにしましょう。ウは、「2乗する」と書いているのでその通りすれば求められます。

(2)は素直に展開していきます。(1)で求めた値も使うと、 A が求められます。最後は二次方程式の解の公式を使います。


【必答問題】

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$定数 a, b, c は $a+b+c=1$, $ab+bc+ca=-2$, $abc=-1$ を満たすとする。

(1) $a^2+b^2+c^2=\myBox{ア}$, $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\myBox{イ}$ である。

解説

$a^2$ などが出てくるので、 $a+b+c$ の式を2乗すればいいんじゃないか、という発想で解きます。不要な部分が出てきますが、その部分の値もわかります。
\begin{eqnarray} (a+b+c)^2 &=& 1^2 \\ a^2+b^2+c^2 +2ab+2bc+2ca &=& 1 \\ a^2+b^2+c^2 &=& 1 -2(ab+bc+ca) \\ &=& 1-2\times(-2) \\ &=& 5 \end{eqnarray}となります。

また、イの左辺を計算していくと
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\[5pt] &=& \frac{bc+ca+ab}{abc} \\[5pt] &=& \frac{-2}{-1} \\[5pt] &=& 2 \end{eqnarray}と求められます。

解答

アイ:52

参考

解答編 つづき

問題

 次に、 $\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\mybox{イ}$ の両辺を2乗することで\[ \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\myBox{ウ} \]であることがわかる。

解説

アを求めたときのように、イを含む式を2乗すると次のように変形していくことができます。
\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2 &=& 2^2 \\[5pt] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} + \frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca} &=& 4 \\[5pt] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} + 2\times \frac{c+a+b}{abc} &=& 4 \\[5pt] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} + 2\times \frac{1}{-1} &=& 4 \\[5pt] \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} &=& 6 \\[5pt] \end{eqnarray}よって、ウには 6 が入ります。

解答

ウ:6

解答編 つづき

問題

(2) x の2次式 A を\[ A=\left(ax-\frac{1}{a}\right)^2 +\left(bx-\frac{1}{b}\right)^2 +\left(cx-\frac{1}{c}\right)^2 \]とおく。\[ A=\myBox{エ}x^2 -\myBox{オ}x +\myBox{カ} \]であり、 $A=7$ を満たす x の値は $\displaystyle \frac{\myBox{キ} \pm \sqrt{\myBox{クケ} }}{\myBox{コ} }$ である。

解答

A の式を展開していくと
\begin{eqnarray} A &=& \left(ax-\frac{1}{a}\right)^2 +\left(bx-\frac{1}{b}\right)^2 +\left(cx-\frac{1}{c}\right)^2 \\[5pt] &=& a^2x^2-2x+\frac{1}{a^2} +b^2x^2-2x+\frac{1}{b^2} +c^2x^2-2x+\frac{1}{c^2} \\[5pt] &=& (a^2+b^2+c^2)x^2-6x+\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、アとウの結果を代入すると\[ A=5x^2-6x+6 \]となることがわかります。

$A=7$ とすると
\begin{eqnarray} 5x^2-6x+6 &=& 7 \\[5pt] 5x^2-6x-1 &=& 0 \\[5pt] x &=& \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 5\cdot(-1)} }{2\cdot 5} \\[5pt] &=& \frac{6 \pm \sqrt{56} }{10} \\[5pt] &=& \frac{3 \pm \sqrt{14} }{5} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

エオカ:566
キクケコ:3145

参考

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