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センター試験 数学I・数学A 2014年度追試 第2問 解説

【必答問題】

問題編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$a, b, c を定数とし、 $a\gt 0$ とする。 x の2次関数\[ y=ax^2+bx+c \quad \cdots ① \]は、 $x=-1$ のとき $y=4$, $x=2$ のとき $y=7$ であるとする。
b, ca で表すと\[ b=\myBox{ア}a+\myBox{イ}, \ c=\myBox{ウエ}a+\myBox{オ} \]である。①のグラフの頂点の座標を $(p,q)$ とすると
\begin{eqnarray} p &=& \frac{ a-\myBox{カ} }{ \myBox{キ}a } \\[5pt] q &=& \frac{ \myBox{クケ}a^2 +\myBox{コサ}a-\myBox{シ} }{ \myBox{ス}a } \\[5pt] \end{eqnarray}である。

(1) $a=2$ のとき、①のグラフを x 軸方向に $\displaystyle \frac{\myBox{セソ} }{\myBox{タ} }$, y 軸方向に $\displaystyle \frac{\myBox{チツ} }{\myBox{テ} }$ だけ平行移動すると、 $y=2x^2$ のグラフに一致する。

(2) ①のグラフが y 軸に関して対称になるとき、頂点の y 座標は $\myBox{ト}$ である。

(3) 関数①の最小値が $0$ であるとすると\[ a=\frac{\myBox{ナニ}\pm\myBox{ヌ}\sqrt{\myBox{ネ} }}{\myBox{ノ} } \]である。

(4) $1\leqq x \leqq 2$ における関数①の最小値が $0$ であるとすると\[ a=\myBox{ハ} \]である。

考え方

前半に重たい計算があり、結構大変です。平方完成をしてから b, c の値を入れるのか、値を入れてから平方完成するのか、2パターンありますが、どちらにしても計算は大変です。しかも、ここがきちんと計算できないと後の問題で困るので、間違いがないか慎重に解いていきましょう。

(1)(2)(3)は、与えられた条件をどう言い換えるかがポイントです。(1)は頂点に着目しましょう。(2)も頂点がどうなっていたらいいかを考えます。(3)も頂点の条件に言い換えましょう。

(4)は x がいつのときに最小値をとるかを求めるのが難しいです。頂点に文字が入っているので、普通なら「頂点が区間より左」「頂点が区間内」「頂点が区間より右」という場合分けが必要です。しかし、この問題では1つの場合しかないため、場合分けは不要です。状況を把握するのが少し難しいかもしれません。


【必答問題】

解答編

問題

 $\def\myBox#1{\bbox[3px, border:2px solid]{\ \bf{ #1 }\ } }\def\mybox#1{\bbox[4px, border:1px solid gray]{\ #1\ } }$a, b, c を定数とし、 $a\gt 0$ とする。 x の2次関数\[ y=ax^2+bx+c \quad \cdots ① \]は、 $x=-1$ のとき $y=4$, $x=2$ のとき $y=7$ であるとする。
b, ca で表すと\[ b=\myBox{ア}a+\myBox{イ}, \ c=\myBox{ウエ}a+\myBox{オ} \]である。

解説

$x=-1$ のとき $y=4$ なので
\begin{eqnarray} 4 &=& a\times(-1)^2+b\times(-1)+c \\ 4 &=& a-b+c \\ \end{eqnarray}が成り立ちます。

また、 $x=2$ のとき $y=7$ なので
\begin{eqnarray} 7 &=& a\times 2^2+b \times 2+c \\ 7 &=& 4a+2b+c \\ \end{eqnarray}が成り立ちます。

2つの式を辺々引くと
\begin{eqnarray} -3 &=& -3a-3b \\ b &=& -a+1 \\ \end{eqnarray}が得られます。

これを1つ目の式に代入すると
\begin{eqnarray} 4 &=& a-(-a+1) +c \\ -c &=& 2a-5 \\ c &=& -2a+5 \\ \end{eqnarray}が得られます。

解答

アイ:-1
ウエオ:-25

解答編 つづき

問題

①のグラフの頂点の座標を $(p,q)$ とすると
\begin{eqnarray} p &=& \frac{ a-\myBox{カ} }{ \myBox{キ}a } \\[5pt] q &=& \frac{ \myBox{クケ}a^2 +\myBox{コサ}a-\myBox{シ} }{ \myBox{ス}a } \\[5pt] \end{eqnarray}である。

解説

①のグラフの頂点の座標を求めるために、平方完成すると
\begin{eqnarray} y &=& ax^2+bx+c \\[5pt] &=& a\left(x^2+\frac{b}{a}x\right)+c \\[5pt] &=& a\left\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\right\}+c \\[5pt] &=& a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c \\[5pt] &=& a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{-b^2+4ac}{4a} \\[5pt] \end{eqnarray}となるので、頂点の座標は $\displaystyle \left(-\frac{b}{2a}, \frac{-b^2+4ac}{4a}\right)$ となります。

これに、先ほど求めた結果を代入すると、 p
\begin{eqnarray} p &=& -\frac{b}{2a} \\[5pt] &=& -\frac{-a+1}{2a} \\[5pt] &=& \frac{a-1}{2a} \\[5pt] \end{eqnarray}となり、 q は \begin{eqnarray} q &=& \frac{-b^2+4ac}{4a} \\[5pt] &=& \frac{-(-a+1)^2+4a(-2a+5)}{4a} \\[5pt] &=& \frac{-a^2+2a-1 -8a^2+20a }{4a} \\[5pt] &=& \frac{-9a^2 +22a-1 }{4a} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

解答

カキ:12
クケコサシス:-92214

参考

解答編 つづき

問題

(1) $a=2$ のとき、①のグラフを x 軸方向に $\displaystyle \frac{\myBox{セソ} }{\myBox{タ} }$, y 軸方向に $\displaystyle \frac{\myBox{チツ} }{\myBox{テ} }$ だけ平行移動すると、 $y=2x^2$ のグラフに一致する。

解説

放物線の頂点に着目して解くことにします。

$a=2$ のとき、①のグラフの頂点は
\begin{eqnarray} & & \left(\frac{a-1}{2a}, \frac{-9a^2 +22a-1 }{4a}\right) \\[5pt] &=& \left(\frac{2-1}{2\cdot 2}, \frac{-9\cdot 2^2 +22\cdot 2-1 }{4 \cdot 2}\right) \\[5pt] &=& \left(\frac{1}{4}, \frac{-36 +44-1 }{8}\right) \\[5pt] &=& \left(\frac{1}{4}, \frac{7}{8}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。この頂点が原点に来るように動かせばいいので、 x 軸方向に $\displaystyle -\frac{1}{4}$, y 軸方向に $\displaystyle -\frac{7}{8}$ だけ移動させればいいことがわかります。

解答

セソタ:-14
チツテ:-78

参考

解答編 つづき

問題

(2) ①のグラフが y 軸に関して対称になるとき、頂点の y 座標は $\myBox{ト}$ である。

解説

①のグラフが y 軸に関して対称になるとき、グラフの頂点は y 軸上にあります。つまり、頂点の x 座標が $0$ になるということなので
\begin{eqnarray} \frac{a-1}{2a} &=& 0 \\[5pt] a &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となることがわかります。

このとき、頂点の y 座標は
\begin{eqnarray} \frac{-9a^2 +22a-1 }{4a} &=& \frac{-9 +22-1 }{4} \\[5pt] &=& \frac{12}{4} \\[5pt] &=& 3 \end{eqnarray}であることがわかります。

解答

ト:3

解答編 つづき

問題

(3) 関数①の最小値が $0$ であるとすると\[ a=\frac{\myBox{ナニ}\pm\myBox{ヌ}\sqrt{\myBox{ネ} }}{\myBox{ノ} } \]である。

解説

最小値が $0$ であるということは、頂点の y 座標が $0$ ということです。このことから
\begin{eqnarray} \frac{-9a^2 +22a-1 }{4a} &=& 0 \\[5pt] -9a^2 +22a-1 &=& 0 \\[5pt] 9a^2 -22a +1 &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となり、二次方程式の解の公式から \begin{eqnarray} a &=& \frac{ -(-22) \pm \sqrt{(-22)^2 -4\cdot 9 \cdot 1} }{2\cdot 9} \\[5pt] &=& \frac{ 11 \pm \sqrt{11^2 -9} }{9} \\[5pt] &=& \frac{ 11 \pm \sqrt{112} }{9} \\[5pt] &=& \frac{ 11 \pm 4\sqrt{7} }{9} \\[5pt] \end{eqnarray}が得られます。

解答

ナニヌネノ:11479

解答編 つづき

問題

(4) $1\leqq x \leqq 2$ における関数①の最小値が $0$ であるとすると\[ a=\myBox{ハ} \]である。

解説

頂点の x 座標は
\begin{eqnarray} \frac{a-1}{2a} &=& \frac{1}{2}-\frac{1}{2a} \end{eqnarray}と変形できます。 a は正なので x 座標はつねに $\displaystyle \frac{1}{2}$ 未満となります。グラフは下に凸であり、 $1\leqq x \leqq 2$ の範囲より左側に頂点が来るので、この範囲で y が最小となるのは $x=1$ のときであることがわかります。

$x=1$ のときに $y=0$ になるという条件から
\begin{eqnarray} a+b+c &=& 0 \\ a+(-a+1)+(-2a+5) &=& 0 \\ -2a &=& -6 \\ a &=& 3 \\ \end{eqnarray}が得られます。

解答

ハ:3

参考

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