東京大学 理系 2013年度 第5問 解説

問題編

問題

 次の命題P を証明したい。

命題P 次の条件(a), (b)をともに満たす自然数(1以上の整数)A が存在する。
(a) A は連続する3つの自然数の積である。
(b) A は10進数で表したとき、1が連続して99回以上現れるところがある。

 以下の問いに答えよ。

(1) y を自然数とする。このとき不等式\[ x^3+3yx^2 \lt (x+y-1)(x+y)(x+y+1) \lt x^3+(3y+1)x^2 \]が成り立つような正の実数 x の範囲を求めよ。

(2) 命題P を証明せよ。

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考え方

「1が連続して99回」という、見ただけで避けてしまいたくなるような問題ですね。ノーヒントだとお手上げですが、(1)があるのでなんとか示せます。

(1)は、左側の不等号は常に成り立ちます。問題としては、少し気持ち悪いですね。右側は、二次関数の問題です。 $y=1$ のときに気を付けて解答を書きましょう。

(2)は(1)を使って、具体的に A を作り出します。(1)の中辺を見ると、連続する3つの自然数の積に対応していることに気づくでしょう。「1が連続して99回以上現れる」を言うには、(1)の左辺と右辺がどうなればいいか、を考えます。そこから、 x, y を具体的に決め、それらの値が(1)で求めた条件を満たすかどうかを確認します。答えは1つではないので、自分の扱いやすい数字で示しましょう。