東京都 公立高校 2018年度 第2問 解説

問題編

問題

(サイトレイアウトの都合のため、「右の図」は「下の図」と読み替えて考えてください)

 ある中学校で、Sさんが作った問題をみんなで考えた。
 次の各問に答えよ。

[Sさんが作った問題]

 a, b, h を正の数とする。
 右の図1に示した立体ABCDEF-GHIJKL は、底面が1辺a cm の正六角形、高さがh cm、6つの側面が全て合同な長方形の正六角柱である。

図1

 正六角形ABCDEF において、対角線AD と対角線CF の交点をM、点M から辺AB に垂線を引き、辺AB との交点を N とし、線分MN の長さをb cmとする。
 立体ABCDEF-GHIJKL の表面積を $\mathrm{ P }\mathrm{ cm }^2$ とするとき、Pa, b, h を用いて表してみよう。

 Tさんは[Sさんが作った問題]の答えを次の形の式で表した。Tさんの答えは正しかった。

 <Tさんの答え> $\mathrm{ P }=6a($     $)$

[問1] <Tさんの答え>の   に当てはまる式を、次ののうちから選び、記号で答えよ。

 ア $\dfrac{1}{2}b+h$
 イ $b+h$
 ウ $b+2h$
 エ $2b+h$

先生は[Sさんが作った問題]をもとにして、次の問題を作った。

[先生が作った問題]

 $h,\ell,r$ を正の数とする。
 右の図2に示した立体は、底面が半径r cm の円、高さがh cm の円柱であり、2つの底面の中心 O, O‘ を結んでできる線分は、2つの底面に垂直である。

図2

 この立体について底面の円周を $\ell $cm、表面積をQ$\mathrm{ cm }^2$ とするとき、 $\mathrm{ Q }=\ell(h+r)$ となることを確かめなさい。

[問2] [先生が作った問題]で $\ell$ を r を用いて表し、 $\mathrm{ Q }=\ell(h+r)$ となることを証明せよ。ただし円周率は $\pi$ とする。

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考え方

底面と側面に分けて、表面積を出します。上と下の2つに面があることに注意しましょう。

問2も、基本的には同じ流れですが、 $\ell$ をどのように言い換えるかをよく考えましょう。まず、問1と同じようにして Q を計算してから、 $\ell$ を使う、という順番で考えると解きやすいでしょう。