京都大学 理系 2016年度 第4問 解説

問題編

【問題】
xyz空間において、平面$y=z$の中で\[ |x|\leqq \frac{e^y+e^{-y}}{2}-1, \quad 0\leqq y \leqq \log a \]で与えられる図形Dを考える。ただしaは1より大きい定数とする。
この図形Dy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

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【考え方】
図を考えるのが大変ですが、最終的にy軸のまわりで1回転するので、y軸で切って考えてみるのがいいですね。すると、回転体の断面は輪のような形になるのがわかります。

断面の面積は2つの円の面積の差で出せます。あとはそれを積分すれば、求めたい体積が得られます。