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【標準】三角比と内接円

ここでは、三角比と内接円の半径について見ていきます。

なお、辺 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{BC}$, $\mathrm{CA}$ の長さを、それぞれ、 $c,a,b$ と書き、角 $\angle \mathrm{ CAB }$, $\angle \mathrm{ ABC }$, $\angle \mathrm{ BCA }$ の大きさを、それぞれ、 $A,B,C$ と書くことにします。

📘 目次

内接円の半径

正弦定理で外接円の半径が出てきましたが、ここでは内接円の半径を考えます。内接円とは、すべての辺に接する円のことです。内接円が三角比の分野で出てくるときは、三角形の面積とからめて出てくることがほとんどです。

内接円の中心を I とし、半径を r とします。このとき、三角形 IAB に注目します。内接円は AB に接しているので、 AB を底辺だと考えると、 r が高さとなります。なので、三角形 IAB の面積は $\displaystyle \frac{cr}{2}$ と書けます。

同様に考えると、三角形 IBC, 三角形 ICA の面積は、それぞれ、 $\dfrac{ar}{2}$, $\dfrac{br}{2}$ と書けることがわかります。なので、三角形 ABC の面積は次のように表せることがわかります。

内接円の半径と三角形の面積
三角形 ABC の面積を S 、内接円の半径を r とすると、次が成り立つ。\[ S=\frac{1}{2} r(a+b+c) \]

このことを利用して、例題を解いてみましょう。

例題

例題
三角形 ABC において、 $a=4$, $b=5$, $c=6$ とする。このとき、三角形 ABC の内接円の半径 r を求めなさい。

上で見た通り、内接円の半径は、三角形の面積を使えば求めることができます。面積をパッと出すことはできませんが、【標準】三角比と三角形の面積で見た手順に従って求めることができます。順番に求めていきます。

まずは、余弦定理から $\cos A$ を求めます。
\begin{eqnarray} \cos A &=& \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \\[5pt] &=& \frac{5^2+6^2-4^2}{2\times5\times6} \\[5pt] &=& \frac{45}{2\times5\times6} \\[5pt] &=& \frac{3}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

三角比の相互関係から、
\begin{eqnarray} \sin^2 A &=& \sqrt{1-\cos^2 A} \\[5pt] &=& \sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2} \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{4^2-3^2} }{4} \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{7} }{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

これから、三角形 ABC の面積は
\begin{eqnarray} \frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\times5\times6\times\frac{\sqrt{7} }{4}=\frac{15\sqrt{7} }{4} \end{eqnarray}となります。

ここまできて、ようやく内接円の半径の話になります。三角形 ABC の面積に注目すると\[ \frac{r(4+5+6)}{2}=\frac{15\sqrt{7} }{4} \]が成り立ちます。このことから
\begin{eqnarray} r &=& \frac{2}{15} \times \frac{15\sqrt{7} }{4} \\[5pt] &=& \frac{\sqrt{7} }{2} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。これが答えです。

おわりに

ここでは、内接円の半径を求める問題を考えました。内接円の半径は、三角形の面積と一緒に考えることが多いです。三角形の面積は三角比の分野で出題されることが多いため、必然的に内接円の半径について問われることも多くなります。

三角形の面積と3辺の長さがわかれば、内接円の半径はすぐに出せます。もしどれかがわからない場合は、余弦定理を使って辺の長さを求めたり、上の例題のようにして三角形の面積を求める必要があります。

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