【標準】累乗根と式の値

🕒 2018/06/11 🔄 2023/07/13

ここでは、累乗根に関連した、式の値を求める問題を見ていきます。

📘 目次

累乗根と展開

例題1

次の計算をしなさい。
\[ (\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) \]

少し見づらいですが、前半の2つは、和と差の積なので、\[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 \]の展開の公式が使えます。分配法則を使っているだけなので、累乗根の場合でももちろん使えます。 $x=\sqrt[6]{a}$, $y=\sqrt[6]{b}$ と置いて考えれば
\begin{eqnarray} & & (\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) \\[5pt] &=& (\sqrt[6]{a^2}-\sqrt[6]{b^2})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) \\[5pt] &=& (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、【基本】累乗根で見た、 $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp} }$ を使っています。

さて、まだまだ見づらいですが、今度は、 $p=\sqrt[3]{a}$, $q=\sqrt[3]{b}$ とおくと、次のように変形できることがわかります。\[ (p-q)(p^2+pq+q^2) \]これも、展開の公式が使えます（参考：【基本】三次式の展開）。 $p^3-q^3$ となることがわかるので、計算結果は、\[ (\sqrt[3]{a})^3-(\sqrt[3]{b})^3=a-b \]となることがわかります。

累乗根と式の値

例題2

$a\gt 0$ で、 $\sqrt[3]{a}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} }=\sqrt{5}$ とする。このとき、 $a+\dfrac{1}{a}$ の値を求めなさい。

同じことですが、条件は\[ a^{\frac{1}{3} }+a^{-\frac{1}{3} }=\sqrt{5} \]という形で与えられることもあります。

$\sqrt[3]{a}$ と $a$ を見比べると、条件の式を3乗するのではないか、と予想ができます。実際に3乗してみると、求めたい式そのままは出てきませんが、惜しい式は出てきます。
\begin{eqnarray} & & \left(\sqrt[3]{a}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} }\right)^3 \\[5pt] &=& (\sqrt[3]{a})^3 +3(\sqrt[3]{a})^2\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} }\right) +3(\sqrt[3]{a})\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} }\right)^2 +\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} }\right)^3 \\[5pt] &=& a +3\sqrt[3]{a} +\dfrac{3}{\sqrt[3]{a} } +\dfrac{1}{a} \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、条件式が使えるように変形すると\[ a+\dfrac{1}{a}+3\left(\sqrt[3]{a} +\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} }\right)=a+\dfrac{1}{a}+3\sqrt{5} \]となります。また、条件式から、\[ \left(\sqrt[3]{a}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} }\right)^3=5\sqrt{5} \]もわかるので、この2つの式から\[ a+\dfrac{1}{a}=2\sqrt{5} \]となることがわかります。

$\sqrt[3]{a}$, $\dfrac{1}{\sqrt[3]{a} }$ の2つを掛けると、打ち消し合って $1$ になる、という性質が効いています。見た目は全然違いますが、本質的には、 $x+\dfrac{1}{x}$ の形をつかった式の値と同じ系統の問題です（参考：【標準】x+1/xを使った式の値）。