【応用】2の3乗根は無理数か

ここでは、2の3乗根が無理数となることを示します。

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2の3乗根が無理数であることの証明(背理法)

$\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを示してみましょう。基本的には、 $\sqrt{2}$ が無理数であることの証明と同じ流れです(参考:【基本】背理法)。

大きな方針としては、「もし有理数だったら矛盾することを示す」という背理法を使った証明です。この方針で考えていきます。

もし有理数だったとしたら、分数で書けるはずです。なので、有理数と仮定すると、 $\sqrt[3]{2}=\dfrac{q}{p}$ となる自然数 $p,q$ が存在します。ここで、約分をして、 $p,q$ は互いに素(最大公約数が $1$ ということ)とします。

累乗根のままだと考えにくいので、3乗してみます。両辺を3乗して整理すると\[ q^3=2p^3 \]となります。右辺が偶数なので、 $q^3$ も偶数です。もし、 q が奇数だったら $q^3$ も奇数になってしまうので、 q は偶数となります。だから、 $q=2r$ となる自然数 $r$ が存在することがわかります。

これを先ほどの式に代入して整理すると
\begin{eqnarray}
q^3 &=& 2p^3 \\[5pt] (2r)^3 &=& 2p^3 \\[5pt] p^3 &=& 4r^3 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。最後の式の右辺は偶数なので、 $p^3$ も偶数です。 $p$ が奇数だと $p^3$ は偶数にならないので、 $p$ は偶数となります。

つまり、 $\sqrt[3]{2}=\dfrac{q}{p}$ と書けるとすると、 $p,q$ はどちらも偶数となり、互いに素であることに矛盾します。このことから、 $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることがわかります。これで証明はおしまいです。

背理法を使わない証明

他にも証明方法はありますが、【発展】ルート2が無理数であることの証明(背理法を使わない方法)と同じ形式の証明も見ておきましょう。

p, qを自然数とします。

自然数の範囲で2で割れる回数は、 $2p^3$ の場合は $3m+1$ 回, $q^3$ の場合は $3n$ 回となります( m, n は0以上の整数 )。よって、2で割れる回数が一致することはありません。だから、どんな自然数 p, q を持ってきても\[ 2p^3 \ne q^3 \]となります。3乗根同士も等しくないので、\[ \sqrt[3]{2}p \ne q \]となります(同じだったら、3乗したもの同士も同じになってしまいます)。

このことから、任意の自然数 p, q に対して、\[ \sqrt[3]{2} \ne \frac{q}{p}\]となるので、$\sqrt{2}$ は無理数となることがわかります。これで証明はおしまいです。

こちらの証明は、分数で書けないことを直接的に示していますが、少し思いつきにくいかもしれません。

おわりに

ここでは、2の3乗根が無理数になることを証明しました。背理法を使う方法と使わない方法、2通り見ましたが、今の時点では、定番の背理法を使った証明ができるようになっておくといいでしょう。