【標準】累乗根の計算

🕒 2018/06/10 🔄 2023/07/13

ここでは、累乗根の計算の具体例を見ていきます。

📘 目次

累乗根の計算

例題1

次の計算をしなさい。
(1) $\sqrt{\sqrt[3]{64} }$
(2) $\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{250}$

【基本】累乗根で見た通り、 $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a} }=\sqrt[mn]{a}$ が成り立つことから、(1)は
\begin{eqnarray} \sqrt{\sqrt[3]{64} } &=& \sqrt[6]{64} \\ &=& \sqrt[6]{2^6} \\ &=& 2 \\ \end{eqnarray}となります。 $\sqrt{a}$ は $\sqrt[2]{a}$ と考えて計算します。

(2)は、3乗根の足し算・引き算ですが、一見すると、これ以上計算できないようにも感じられます。しかし、平方根の計算で行う\[ \sqrt{18}-\sqrt{8}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2} \]と同じような変形をすることができます。

$54=3^3\times 2$ なので、 $\sqrt[3]{54}=3\sqrt[3]{2}$ となります。他も同様に計算して
\begin{eqnarray} & & \sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{250} \\[5pt] &=& 3\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{2}-5\sqrt[3]{2} \\[5pt] &=& 0 \end{eqnarray}となります。足し算・引き算の場合は、根号の中を小さい数にして、同じパーツを作り出してまとめる、という流れが多いです。

累乗根の計算と指数の計算

例題2

次の計算をしなさい。
(1) $\sqrt{2}\times \sqrt[6]{32}\div \sqrt[9]{8}$
(2) $\dfrac{\sqrt[3]{2}\times \sqrt{3} }{ \sqrt[6]{6}\times \sqrt[3]{1.5} }$

(1)は、平方根、6乗根、9乗根が混じっていて、まとめることが難しいです。そのまま計算するのであれば、「〇乗根」の部分をそろえてから計算します。
\begin{eqnarray} & & \sqrt{2}\times \sqrt[6]{2^5}\div \sqrt[9]{2^3} \\[5pt] &=& \sqrt{2}\times \sqrt[6]{2^5}\div \sqrt[3]{2} \\[5pt] &=& \sqrt[6]{2^3}\times \sqrt[6]{2^5}\div \sqrt[6]{2^2} \\[5pt] &=& \sqrt[6]{2^3\times2^5\div2^2} \\[5pt] &=& \sqrt[6]{2^6} \\[5pt] &=& 2 \end{eqnarray}となります。【基本】累乗根で見た、 $\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[np]{a^{mp} }$ といった関係式を使っています。

ただ、このように計算するよりも、有理数乗として計算するほうが考えやすいと思います。累乗を使って書けば、
\begin{eqnarray} & & 2^{\frac{1}{2} }\times 32^{\frac{1}{6} }\div 8^{\frac{1}{9} } \\[5pt] &=& 2^{\frac{1}{2} }\times (2^5)^{\frac{1}{6} }\times (2^3)^{-\frac{1}{9} } \\[5pt] &=& 2^{\frac{3+5-2}{6} } \\[5pt] &=& 2 \end{eqnarray}となります。

(2)も、累乗で書き直してから計算したほうがわかりやすいでしょう。
\begin{eqnarray} & & \dfrac{\sqrt[3]{2}\times \sqrt{3} }{ \sqrt[6]{6}\times \sqrt[3]{1.5} } \\[5pt] &=& \dfrac{2^{\frac{1}{3} }\times 3^{\frac{1}{2} }}{ 6^{\frac{1}{6} }\times 1.5^{\frac{1}{3} } } \\[5pt] &=& \dfrac{2^{\frac{1}{3} }\times 3^{\frac{1}{2} }}{ 2^{\frac{1}{6} }\times 3^{\frac{1}{6} } \times 3^{\frac{1}{3} }\times 2^{-\frac{1}{3} } } \\[5pt] &=& 2^{\frac{1}{3}-\frac{1}{6}+\frac{1}{3} } \times 3^{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{3} } \\[5pt] &=& \sqrt{2} \end{eqnarray}となります。

どちらも、【標準】指数の計算で出てきた計算です。累乗根の掛け算・割り算は、そのまま計算するよりも、有理数乗で考えたほうが計算しやすいでしょう。