【標準】一次式の計算(分数)

ここでは、分数の形になっている一次式の計算について見ていきます。

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一次式の計算(分数)その1

例題1
次の計算をしましょう。

(1) $\dfrac{2x-1}{3}+x-2$

(2) $3a+2-\dfrac{7a+5}{4}$

分数を含んだ一次式の和や差は、通分して求めます。(1)であれば、 $x-2$ を、分母が $3$ となるように変形してから次のように計算します。
\begin{eqnarray}
& & \dfrac{2x-1}{3}+x-2\\[5pt] &=& \dfrac{2x-1+3(x-2)}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{2x-1+3x-6}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{5x-7}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $x-2$ 全体を $3$ 倍しないといけないため、2行目の分子では $3(x-2)$ となっています。

(2)は、分母を $4$ に合わせますが、符号に注意します。
\begin{eqnarray}
& & 3a+2-\dfrac{7a+5}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{4(3a+2)-(7a+5)}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{12a+8-7a-5}{4} \\[5pt] &=& \dfrac{5a+3}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。1行目では、 $7a+5$ がひとかたまりなので、2行目では、このかたまりの前にマイナスをつけて $-(7a+5)$ となっています。 $-\dfrac{7a+5}{4}$ は、 $-(7a+5)\times \dfrac{1}{4}$ と書き換えられることからもわかる通り、 $7a+5$ をカッコでくくる必要があります。カッコのつけ忘れに注意しましょう。

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一次式の計算(分数)その2

例題2
次の計算をしましょう。

(1) $\dfrac{3x-5}{4}+\dfrac{x+7}{3}$

(2) $\dfrac{8a-1}{6}-\dfrac{x-3}{2}$

(3) $\dfrac{m+1}{2}-\dfrac{2m+4}{9}+\dfrac{-3m+5}{18}$

これらも通分をして計算をしていきます。(1)は次のようになります。
\begin{eqnarray}
& & \dfrac{3x-5}{4}+\dfrac{x+7}{3} \\[5pt] &=& \dfrac{3(3x-5)+4(x+7)}{12} \\[5pt] &=& \dfrac{9x-15+4x+28}{12} \\[5pt] &=& \dfrac{13x+13}{12} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。2行目の分子は、【標準】一次式の計算の後半でやった計算と似ていますね。分配法則を使って計算します。このように、数学では、過去に学んだことが、後になってサラッと出てくることが多いです(すでに気づいている人もいると思いますが)。学んだことはその都度マスターしていかないと、今後もつまるところが増えてしまいます。わからないところやできないところは、できる限り早めに潰していきましょう。

(2)は、先ほどの例題1の(2)と同様に、符号に注意して計算します。
\begin{eqnarray}
& & \dfrac{8a-1}{6}-\dfrac{x-3}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{8a-1-3(x-3)}{6}\\[5pt] &=& \dfrac{8a-1-3x+9}{6}\\[5pt] &=& \dfrac{5a+8}{6}\\[5pt] \end{eqnarray}となります。

(3)は、分数が3つですが、方針は同じです。通分して計算します。
\begin{eqnarray}
& & \dfrac{m+1}{2}-\dfrac{2m+4}{9}+\dfrac{-3m+5}{18} \\[5pt] &=& \dfrac{9(m+1)-2(2m+4)+(-3m+5)}{18} \\[5pt] &=& \dfrac{9m+9-4m-8-3m+5}{18} \\[5pt] &=& \dfrac{2m+6}{18} \\[5pt] &=& \dfrac{m+3}{9} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。最後は、 $2$ で約分をしています。分母も分子も $2$ で割れるので約分をしなければいけません。

一方、最後の式を $3$ で約分することはできないので注意しましょう。約分するときは、分子のすべての項を同じ数で割らないといけません。なので、最後の式はこれ以上約分できません。

おわりに

ここでは、分数を含んだ一次式の計算について見てきました。基本的には、通分を行って、分子の計算をしていきます。分数の前にマイナスがついているときは、分子全体にマイナスをつけることを忘れないようにしましょう。