【標準】数列の極限（ガウス記号）

🕒 2018/08/07 🔄 2023/06/24

ここでは、ガウス記号を含んだ数列の極限について、考えていきます。

📘 目次

ガウス記号について

実数 $x$ に対して、この整数部分を $\lbrack x\rbrack $ という記号で表します。整数部分とは、その数以下の整数のうち、一番大きいもののことです。この記号のことを、ガウス記号といいます（参考：【標準】整数部分と小数部分）。

例えば、 $\lbrack 3.14\rbrack=3$ となります。3.14 以下で一番大きい整数は 3 だからですね。また、整数の場合はその数自体が整数部分となるので、 $\lbrack 2\rbrack=2$ となります。負の数は少し引っかかりやすいのですが、 $\lbrack -3.14\rbrack=-4$ となります。 -3.14 以下なので、-3 は対象から外れてしまうんですね。

このガウス記号について、重要な性質があります。まず、次が成り立ちます。\[ \lbrack x\rbrack \leqq x \]整数部分は、もとの数字以下なので、これは定義に含まれている条件をそのまま書いただけですね。

また、 $x$ 以下の整数で一番大きいものは、 $x$ と比べて近い値をとることがわかります。離れていても、最大 $1$ ですね。 $x-1$ が整数部分となることはないことを考えると、次の不等式が成り立つことがわかります。\[ x-1 \lt \lbrack x\rbrack \leqq x \]

この関係式は、 $x$ がどんな値でも成り立つもので、いろんなところで使われるのですが、数列の極限を求めるときにも、以下のようにして使われることがあります。

ガウス記号を含んだ数列の極限その１

例題1

次の極限を求めなさい。ただし、 $\lbrack x\rbrack$ は $x$ を超えない最大の整数を表すとする。\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\lbrack \sqrt{n}\rbrack}{\sqrt{n} } \]

$\lbrack \sqrt{n}\rbrack$ に関して、はっきりとした値は求めにくいですね。しかし、先ほど見たガウス記号に関する不等式から、 $\lbrack \sqrt{n}\rbrack$ は $\sqrt{n}$ と近い値をとることがわかります。なので、同じように大きくなっていき、比率も $1$ に近くなるんじゃないか、と考えられます。

こうしたことをきちんと示すためには、【基本】数列の極限とはさみうちの原理で見た内容が役に立ちます。今、ガウス記号に関して使える不等式があるので、それを用いれば、\[ \frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n} } \lt \dfrac{\lbrack \sqrt{n}\rbrack}{\sqrt{n} } \leqq \dfrac{\sqrt{n} }{\sqrt{n} } \]となります。右辺は $1$ であり、左辺も\[ 1-\frac{1}{\sqrt{n} } \]と変形できることから、左辺も $1$ に収束することがわかります。よって、はさみうちの原理より、真ん中も $1$ に収束することがわかります。以上より、\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\lbrack \sqrt{n}\rbrack}{\sqrt{n} }=1 \]が得られます。

ガウス記号を含んだ数列の極限その２

例題2

次の極限を求めなさい。ただし、 $\lbrack x\rbrack$ は $x$ を超えない最大の整数を表すとする。\[ \lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2+\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack } -n\right) \]

ルートの中は無限大に発散するので、これは「無限大引く無限大」の形になっています。

このような形で、しかも、ルートが含まれていることから、【標準】数列の極限#数列の極限（有理化）で見た内容が使えそうです。
\begin{eqnarray} & & \sqrt{n^2+\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack } -n \\[5pt] &=& \frac{\left(n^2+\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack\right) -n^2}{\sqrt{n^2+\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack } +n} \\[5pt] &=& \frac{\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack}{\sqrt{n^2+\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack } +n} \\[5pt] \end{eqnarray}ここで、分母と分子は無限大に発散することから、まだもう一工夫必要ですね。分母と分子を $n$ で割って考えてみます。すると、分子は\[ \frac{\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack}{n} \]となりますが、先ほどと同じように\[ \frac{n}{2}-1\lt \left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack \leqq \frac{n}{2} \]が成り立つことから、各辺を $n$ で割って極限を考えれば\[ \lim_{n\to\infty} \frac{\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack}{n}=\frac{1}{2} \]となることがわかります。

一方、分母を $n$ で割ったものは
\begin{eqnarray} & & \frac{1}{n}\left( \sqrt{n^2+\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack } +n \right) \\[5pt] &=& \sqrt{1+\frac{1}{n}\cdot \frac{\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack}{n} } +1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、ガウス記号の部分は $0$ に収束するものと $\dfrac{1}{2}$ に収束するものとの積になっているため、ルートの中全体は $1$ に収束することがわかります。よって、分母は $2$ に収束します。

分母・分子を $n$ で割った結果、分子は $\dfrac{1}{2}$ に収束し、分母は $2$ に収束するのだから、全体では $\dfrac{1}{4}$ に収束することがわかります。つまり、\[ \lim_{n\to\infty} \left(\sqrt{n^2+\left\lbrack \frac{n}{2} \right\rbrack } -n\right)=\frac{1}{4} \]ということです。