【標準】一次方程式の解き方

ここでは、少し複雑な一次方程式を解く方法を見ていきます。

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カッコを含む方程式

【基本】一次方程式の解き方で見たように、一次方程式を解くには、両辺に同じ数や式を足したり引いたり、同じ数を掛けたり割ったりして、変形していきます。ただ、カッコを含む方程式の場合は、まずはカッコをはずして計算をします。\[ 2(x-4)+3=5 \]を解いてみます。カッコをはずさずに解くこともできますが、まずは外して解く方法を見てみましょう。
\begin{eqnarray}
2(x-4)+3 &=& 5 \\[5pt] 2x-8+3 &=& 5 \\[5pt] 2x-5 &=& 5 \\[5pt] 2x &=& 5+5 \\[5pt] x &=& 5 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。1行目から3行目にかけて、カッコをはずして左辺を計算しています。その後は、移行して両辺を $2$ で割り、 $x$ を求めています。

基本的にはカッコをはずして変形していくのですが、次のような変形をすることも可能です。
\begin{eqnarray}
2(x-4)+3 &=& 5 \\[5pt] 2(x-4) &=& 5-3 \\[5pt] x-4 &=& 2\div 2 \\[5pt] x &=& 1+4 \\[5pt] &=& 5 \\[5pt] \end{eqnarray}1行目から2行目は、 $3$ を移行しています。2行目から3行目は、両辺を $2$ で割り、3行目から4行目は $-4$ を移行しています。このようにして、カッコをはずさずに解くこともできますが、カッコが複数ある場合など、逆に計算が面倒になることもあるので、カッコをはずしてから計算するようにしたほうがいいでしょう。

小数を含む方程式

次のような、係数に小数を含む場合を考えてみましょう。係数とは、文字に掛かっている数字のことです。\[ 0.2x+0.5=-0.1x-0.4 \]小数のまま計算することもできますが、方程式の場合は、両辺に同じ数を掛けてもいいのでしたね。なので、 $10$ 倍して、整数の形にしてから計算したほうが楽でしょう。両辺に $10$ を掛けると\[ 2x+5=-x-4 \]となります。このほうが、計算しやすいです。
\begin{eqnarray}
0.2x+0.5 &=& -0.1x-0.4 \\[5pt] 2x+5 &=& -x-4 \\[5pt] 2x+x &=& -4-5 \\[5pt] 3x &=& -9 \\[5pt] x &=& -3 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

分数を含む方程式

係数に分数を含む方程式を考えてみましょう。\[ \frac{1}{4}x+\frac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2} \]これも、分数のまま計算することもできます。しかし、小数のときよりもさらに計算が面倒になりそうですね。方程式は両辺に同じ数を掛けてもいいので、分数が残らない形にしましょう。出てくる分数の分母を見れば、最小公倍数の $4$ を掛ければいいことがわかるでしょう。こうして、次のように計算します。
\begin{eqnarray}
\frac{1}{4}x+\frac{1}{2} &=& -\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2} \\[5pt] \left(\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\right)\times 4 &=& \left(-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{2}\right)\times 4 \\[5pt] x+2 &=& -x+6 \\[5pt] x+x &=& 6-2 \\[5pt] x &=& 2 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。もとの方程式に代入してみると、等式が成り立つことがわかるでしょう。

例題

例題
次の方程式を解きなさい。

(1) $4x+7(x-2)=x-4$

(2) $0.8x+6=\dfrac{1}{5}x$

(3) $\dfrac{x+2}{6} = \dfrac{x+6}{4}$

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(1)は、カッコをはずして計算します。
\begin{eqnarray}
4x+7(x-2) &=& x-4 \\[5pt] 4x+7x-14 &=& x-4 \\[5pt] 4x+7x-x &=& 14-4 \\[5pt] 10x &=& 10 \\[5pt] x &=& 1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。1行目から2行目は、カッコをはずして計算しただけです。2行目から3行目は、左辺の $-14$ を右辺に移項し(両辺に $14$ を足したと考えてもいい)、右辺の $x$ を左辺に移行しています(両辺から $x$ を引いたと考えてもいい)。

(2)は、小数と分数が混じっていますが、整数だけの式になるように両辺に $10$ を掛けてみましょう。
\begin{eqnarray}
0.8x+6 &=& \dfrac{1}{5}x \\[5pt] 8x+60 &=& 2x \\[5pt] 8x-2x &=& -60 \\[5pt] 6x &=& -60 \\[5pt] x &=& -10 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。1行目から2行目では、両辺に $10$ を掛けています。このときに、左辺の $+6$ に掛け忘れてしまう間違いが多いので注意しましょう。なお、はじめに $10$ を掛けるのではなく、 $5$ を掛けて計算しても構いません。2行目から3行目では、 $2x$ と $60$ を移行しています。

(3)は、両辺に $12$ を掛ければ、整数だけの式になります。
\begin{eqnarray}
\dfrac{x+2}{6} &=& \dfrac{x+6}{4} \\[5pt] \dfrac{x+2}{6}\times 12 &=& \dfrac{x+6}{4}\times 12 \\[5pt] 2(x+2) &=& 3(x+6) \\[5pt] 2x+4 &=& 3x+18 \\[5pt] 2x-3x &=& -4+18 \\[5pt] -x &=& 14 \\[5pt] x &=& -14 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。もしこれを分数のまま計算するなら、次のようになります。
\begin{eqnarray}
\dfrac{x+2}{6} &=& \dfrac{x+6}{4} \\[5pt] \dfrac{x}{6}+\dfrac{2}{6} &=& \dfrac{x}{4}+\dfrac{6}{4} \\[5pt] \dfrac{x}{6}-\dfrac{x}{4} &=& \dfrac{6}{4}-\dfrac{2}{6} \\[5pt] \dfrac{2x-3x}{12} &=& \dfrac{18-4}{12} \\[5pt] -\dfrac{1}{12}x &=& \dfrac{14}{12} \\[5pt] x &=& -14 \\[5pt] \end{eqnarray}もちろん、同じ結果が得られます。しかし、複雑な計算となってしまうので、オススメはしません。整数の形にしてから計算した方がいいでしょう。

おわりに

ここでは、少し複雑な一次方程式の解き方を見てきました。カッコのあるものは、外してから計算します。小数や分数を含んでいるものは、整数の形にしてから計算すると、間違いが少なくなるでしょう。