【基本】方程式とその解

ここでは、方程式とその解について見ていきます。【導入】方程式で見た内容と被っているところが多いですが、リンク先よりこのページのほうがシンプルな状況を扱っています。

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方程式とその解

【基本】数量の関係を文字を使った式で表そうでは、次のような状況を考えました:「120円のジュースを $x$ 本買い、140円のパンを買ったら、500円だった」。このことを、等式と使って次のように表すことができるのでした。\[ 120x+140=500 \]「ジュースとパンの合計金額」と「500円」とが等しい、というのを、イコールでつなげたわけですね。上のリンク先では、等式で表しただけでしたが、この $x$ が何かまでは考えていませんでした。ここでは、この $x$ は何か、考えてみましょう。

まずは、1本ずつ本数を増やして、合計金額が500円になるか調べていきます。
\begin{eqnarray}
& & 1\times 120+140 &=& 260 \\[5pt] & & 2\times 120+140 &=& 380 \\[5pt] & & 3\times 120+140 &=& 500 \\[5pt] & & 4\times 120+140 &=& 620 \\[5pt] \end{eqnarray}このようになります。1本や2本のときは500円より小さく、4本買うと500円を超えてしまいます。3本のときにちょうど500円になります。なので、「ジュースは3本だったんだな」ということがわかります。

今の場合は状況がシンプルなので、 $x$ を使わずに考えることもできます。「120円のジュースを何本か買って、140円のパンを買ったら500円だった」ということは、「ジュースだけの金額は、500-140=360円だった」ということなので、\[ (500-140)\div 120=3 \]から、3本だった、と求めることもできます。ただ、文字式を使うほうが、将来、より複雑な状況も扱いやすくなります。はじめの段階では、文字を使わなくても解ける問題も多いですが、徐々に、文字を使わないと解きにくい問題、解けない問題も出てきます。簡単なうちから、文字を使って解く方法に慣れていきましょう。

上で考えた\[ 120x+140=500 \]という等式ですが、これは $x$ の値によって成り立ったり成り立たなかったりしました。 $x$ が $3$ のときだけ成り立ち、他の場合は等しくはなりませんでした。このように、式の中の文字に代入する値によって、成り立ったり成り立たなかったりする等式のことを、方程式(ほうていしき、equation) といいます。また、方程式の文字にある値を入れると等式が成り立つとき、その値のことを方程式の(かい、solution) といいます。

先ほどの例であれば、「方程式 $120x+140=500$ の解は $x=3$ 」というふうに表します。

当面は、方程式に含まれる文字は1種類で、累乗を使っていないものだけを扱います。このような方程式を、一次方程式といいます。当面は、方程式と言ったら、一次方程式のことを指します。

少ないケースですが、一次方程式のことを一元一次方程式(いちげんいちじほうていしき)ということもあります。「一元」は、文字が1種類であるという意味であり、1種類であることを強調して言いたいときに使います。

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方程式の解に関する例題

例題
$3,4,5,6$ のうち、方程式 $3x+7=5x-3$ の解であるものはどれですか。

方程式の解とは、代入すればその方程式が成り立つような値のことなので、順番に代入して成り立つかどうかを見ていくことで確かめられます。

$x=3$ のとき、方程式の左辺は、 $3\times 3+7=16$ で、右辺は、 $5\times 3-3=12$ なので、等しくありません。

$x=4$ のとき、方程式の左辺は、 $3\times 4+7=19$ で、右辺は、 $5\times 4-3=17$ なので、等しくありません。

$x=5$ のとき、方程式の左辺は、 $3\times 5+7=22$ で、右辺は、 $5\times 5-3=22$ なので、等しいです。

$x=6$ のとき、方程式の左辺は、 $3\times 6+7=25$ で、右辺は、 $5\times 6-3=27$ なので、等しくありません。

結局、 $x=5$ のときだけ等式が成り立つので、解は $4$ であることがわかります。

このように、ある値が方程式の解であるかどうかを確かめるには、代入して等式が成り立つかどうかを調べればいい、ということをおさえておきましょう。

おわりに

ここでは、方程式やその解の紹介、解であることの確認方法を見てきました。ただ、解を見つけるために、何度もいろんな値を代入するのは大変ですし、見つかる保証もありません。別のページでは、より確実に解を見つける方法を見ていくことにします。