【基本】方程式とその解

🕒 2019/05/17 🔄 2023/05/01

ここでは、方程式とその解について見ていきます。【導入】方程式で見た内容と被っているところが多いですが、リンク先よりこのページのほうがシンプルな状況を扱っています。

📘 目次

方程式とその解

【基本】数量の関係を文字を使った式で表そうでは、次のような状況を考えました：「120円のジュースを $x$ 本買い、140円のパンを買ったら、500円だった」。このことを、等式と使って次のように表すことができるのでした。\[ 120x+140=500 \]「ジュースとパンの合計金額」と「500円」とが等しい、というのを、イコールでつなげたわけですね。上のリンク先では、等式で表しただけでしたが、この $x$ が何かまでは考えていませんでした。ここでは、この $x$ は何か、考えてみましょう。

まずは、1本ずつ本数を増やして、合計金額が500円になるか調べていきます。
\begin{eqnarray} & & 1\times 120+140 &=& 260 \\[5pt] & & 2\times 120+140 &=& 380 \\[5pt] & & 3\times 120+140 &=& 500 \\[5pt] & & 4\times 120+140 &=& 620 \\[5pt] \end{eqnarray}このようになります。1本や2本のときは500円より小さく、4本買うと500円を超えてしまいます。3本のときにちょうど500円になります。なので、「ジュースは3本だったんだな」ということがわかります。

今の場合は状況がシンプルなので、 $x$ を使わずに考えることもできます。「120円のジュースを何本か買って、140円のパンを買ったら500円だった」ということは、「ジュースだけの金額は、500-140=360円だった」ということなので、\[ (500-140)\div 120=3 \]から、3本だった、と求めることもできます。ただ、文字式を使うほうが、将来、より複雑な状況も扱いやすくなります。はじめの段階では、文字を使わなくても解ける問題も多いですが、徐々に、文字を使わないと解きにくい問題、解けない問題も出てきます。簡単なうちから、文字を使って解く方法に慣れていきましょう。

上で考えた\[ 120x+140=500 \]という等式ですが、これは $x$ の値によって成り立ったり成り立たなかったりしました。 $x$ が $3$ のときだけ成り立ち、他の場合は等しくはなりませんでした。このように、式の中の文字に代入する値によって、成り立ったり成り立たなかったりする等式のことを、方程式(ほうていしき、equation) といいます。また、方程式の文字にある値を入れると等式が成り立つとき、その値のことを方程式の解(かい、solution) といいます。

先ほどの例であれば、「方程式 $120x+140=500$ の解は $x=3$ 」というふうに表します。

当面は、方程式に含まれる文字は1種類で、累乗を使っていないものだけを扱います。このような方程式を、一次方程式といいます。当面は、方程式と言ったら、一次方程式のことを指します。

少ないケースですが、一次方程式のことを一元一次方程式（いちげんいちじほうていしき）ということもあります。「一元」は、文字が1種類であるという意味であり、1種類であることを強調して言いたいときに使います。