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【標準】因数分解と方程式の整数解

🕒 2018/07/31 🔄 2023/05/01

ここでは、因数分解を利用して、積の形を作り、方程式の整数解を求める問題を見ていきます。

📘 目次

積と方程式の整数解

$xy=2$ となるような $x,y$ の組は、範囲に制限をつけなければ無数に存在します。しかし、例えば、「 $x,y$ は自然数」と限定すると、 $(x,y)=(1,2),(2,1)$ の2組にしぼることができます。

また、「 $x,y$ が整数」という限定の仕方だと、上の組に加えて $(-1,-2),(-2,-1)$ も満たします。

解が自然数や整数という制限があり、積に関する条件が分かっているなら、解を絞り込むことができます。これは、方程式の整数解を求めたい場合に、よく使われる手法の1つです。

因数分解と方程式の整数解

実際には、「 $xy=2$ を満たす整数解は？」といったシンプルな問題はありません。次のようにちょっとひねった形になることがほとんどです。

例題

次の方程式を満たす整数の組 $(x,y)$ をすべて求めなさい。\[ xy+4x-2y=13 \]

$xy=13$ だったら簡単だったのですが、余計な $+4x-2y$ がついています。「積がいくつになるか」という情報があれば、後は絞り込むのは簡単なのですが、こういう余分なものがついていると、困りますね。

何とか積の形に変形できればいいのですが、今の場合、左辺を因数分解することはできません。しかし、よく考えてみると、左辺を完全に因数分解する必要はないんですね。 $x,y$ を含んだ項の係数は変更することはできませんが、定数の項は好きにいじれます。定数の部分を無視して、左辺がもし因数分解できたとすると、次のようになるでしょう。\[ (x-2)(y+4) \]これを展開すると、 $xy+4x-2y-8$ となり、たしかに、 $x,y$ を含んでいる項の係数は同じです。これを利用すれば、
\begin{eqnarray} (x-2)(y+4) &=& xy+4x-2y-8 \\[5pt] &=& 13-8 \\[5pt] &=& 5 \end{eqnarray}となることがわかります。つまり、 $(x-2)$ と $(y+4)$ の積が $5$ だ、ということですね。ここまでくれば、この2つは、 $(1,5)$, $(5,1)$, $(-1,-5)$, $(-5,-1)$ の4組しかないので、これらから\[ (x,y)=(3,1),(7,-3),(1,-9),(-3,-5) \]の4組が解になる、ということがわかります。

このように、「整数解を求めるときには、積の値から絞り込むことができる」という発想から、上のような因数分解のような変形をして、解を求めるケースがあります。

また、1つの文字を消去する、という発想で考えることも可能です。例えば
\begin{eqnarray} xy+4x-2y &=& 13 \\[5pt] (x-2)y &=& 13-4x \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。ここで、 $x=2$ とすると、左辺は $0$ で右辺は $0$ 以外となるので、一致することはありません。だから、 $x\ne 2$ なので、 \begin{eqnarray} y &=& \frac{13-4x}{x-2} \\[5pt] &=& \frac{13-4(x-2)-8}{x-2} \\[5pt] &=& -4+\frac{5}{x-2} \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できます。ここで、 $y$ が整数となるには、最後に出てくる分数の部分が整数となればよく、 $x-2$ が $5$ の約数のときを考えればいい、ということがわかります。ここまで絞り込めれば後は簡単ですね。先ほどと同じ結果を得ることができます。

どちらも、ちょっと式変形がややこしいですが、整数解を求めるときの典型的な「絞り込み方」なので、マスターしておきましょう。