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【標準】比例のグラフ

🕒 2019/06/13 🔄 2023/05/01

ここでは、比例のグラフに関する問題を見ていきます。

📘 目次

座標に関する問題

比例のグラフに関する問題の前に、まずは座標に関する問題を見てみましょう。

例題1

次の図を見て、点 A, B, C, D の座標を答えなさい。

【基本】比例のグラフで見ましたが、座標は、 $(a,b)$ というように、 $x$ 座標、 $y$ 座標を並べて書きます。 $x$ 座標は、原点から右にどれだけ進んだ点かを表していて、 $y$ 座標は、上にどれだけ進んだ点かを表しています。

点 A は、原点から右に3、上に2だけ移動した点です。なので、点 A の座標は、 $(3,2)$ であることがわかります。点 B は原点より左にあるので、 $x$ 座標は負の数となります。座標は $(-4,1)$ となります。

点 C は、原点より下にあるので、 $y$ 座標が負となり、座標は $(2,-2)$ となります。点 D は、 $y$ 軸上の点なので、原点から左右に移動しなくてもいいため、 $x$ 座標は $0$ となります。座標は $(0,-4)$ となります。

比例のグラフをかく問題

例題2

次の比例のグラフをかきなさい。
(1) $y=-2x$
(2) $y=\dfrac{1}{3}x$

【基本】比例のグラフの性質の最後で見たように、比例のグラフは原点を通る直線になります。よって、原点以外に通る点がわかれば、グラフをかくことができます。

(1)の場合は、 $x=1$ とすると $y=-2$ となるため、点 $(1,-2)$ を通ることがわかります。よって、原点とこの点を結んだ直線が答えとなります。

(2)の場合は、 $x=1$ としても $y=\dfrac{1}{3}$ となり、点を選ぶことが難しいです。こういう場合は、 $y$ 座標が整数となるように $x$ をうまく選べばいいです。今の場合なら、 $x=3$ とすればいいですね。このとき、 $y=1$ となるので、 $(3,1)$ を通ることがわかります。

以上から、2つのグラフは次のようになります。

比例のグラフから式を求める問題

例題3

次のグラフは、どちらも比例のグラフです。それぞれについて、 $y$ を $x$ の式で表しなさい。

比例の式を求めるので、 $y=ax$ の $a$ を求めればいいですね。

(1)は、原点を通り、点 $(1,1)$ を通る直線なので、 $y=ax$ に $x=1$, $y=1$ を代入すると、 $a=1$ だとわかります。よって、 $y=x$ となります。

(2)は、原点以外に通る点のうち、 $x$ 座標も $y$ 座標も整数になっている点を見つけましょう。そうすると、点 $(3,-4)$ が見つかります。これらを $y=ax$ に代入すると $-4=3a$ となるので、 $a=-\dfrac{4}{3}$ となることがわかります。よって、式は、 $y=-\dfrac{4}{3}x$ となります。

なお、原点を通る直線は、必ず比例のグラフになります。原点以外に点 $(m,n)$ を通るとすると、 $y=\dfrac{n}{m}x$ のグラフは原点を通る直線になるので、この直線は $y=\dfrac{n}{m}x$ という比例の式に対応するグラフになります。