【基本】比例の性質

ここでは、比例の性質を見ていきます。対応表は普通は横向きになっていることが多いですが、このページでは、レイアウトの都合上、縦向きとしています。

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比例と値の対応表

【基本】比例を表す式では、比例について見ました。 $y$ が $x$ に比例するのは、\[ y=ax \]と表せるときを言うのでした。ここでは、具体的な値を代入して、値の対応表を作ってみます。

上のリンク先では、速さと距離の関係について見ましたが、ここでは、向きも勘案して考えていきます(ここが算数と違うところでもあります)。東の方向を正の方向とします。

ある人が、東に分速80mで歩いているとしましょう。このとき、 $x$ 分後に今いる地点から東に $y$ mのところにいるとします。このとき、\[ y=80x \]と書くことができるので、 $y$ は $x$ に比例する、と言えます。この状況では、 $x$ には、自然数だけでなく、小数や負の数を考えることもできます。負の数とは、○分前や、西に○mのところ、をあらわすということですね。 $x$ にいくつか値を入れてみると、 $y$ の値とは次のように対応します。

$x$ $y$
-3 -240
-2 -160
-1 -80
0 0
1 80
2 160
3 240

もちろん、これら以外の値を $x$ にいれることもできます。 $y=80x$ に代入すれば、その $x$ に対応する $y$ が求められます。

また、別の人が、西に分速70mで歩いているとします。このとき、 $x$ 分後に今いる地点から東に $y$ mのところにいるとしましょう(東を正の方向にしていました)。このとき、 $y=-70x$ と書くことができるので、 $y$ は $x$ に比例します。このときは、対応表は次のようになります。

$x$ $y$
-3 210
-2 140
-1 70
0 0
1 -70
2 -140
3 -210

これも、表をつくるだけなら、 $y=-70x$ に代入して計算していくだけです。

$y=ax$ の $a$ のことを比例定数と言いますが、1つ目の例は比例定数が正のとき、2つ目の例は負のときですね。比例定数が正のときは、 $x$ の値が増えるほど $y$ の値も減りますが、比例定数が負の場合は、逆に $y$ の値が減っていくことがわかります。

2倍、3倍としたときの性質

$y=80x$ のとき、 $x=6,-6$ とすると、次のような表になります。

$x$ $y$
-6 -480
6 480

これらを使うと、 $x=1$ から $x=2$, $x=3$ から $x=6$ などとしたとき、 $x$ を2倍にすれば、 $y$ も2倍になることがわかります。また、 $x=2$ から $x=6$ などとしたとき、 $x$ を3倍にすれば、 $y$ も3倍になることがわかります。

これは、比例を表す式 $y=ax$ を見てもわかるでしょう。 $x$ に $a$ を掛けたものが $y$ なのだから、 $x$ を2倍にすると $y$ も2倍に、 $x$ を3倍にすると $y$ も3倍に、というように、ともなって変わっていくことがわかります。小学校ではこの性質を比例の定義に使っていたかもしれませんが、この性質は大切です。

また、比例を表す式からも明らかですが、 $y$ が $x$ に比例するとき、 $x$ が $0$ でないなら、 $\dfrac{y}{x}$ の値は一定です。比の値は一定になる、ということです。この性質も大切です。

比例と変域

比例の式 $y=ax$ では、 $x,y$ がどんな値もとるとは限りません。もし $x$ が年齢を表していれば、0以上の整数の値しかとらないでしょうし、 $x$ が水槽に入れた水の高さなら、0以上水槽の高さ以下の値しかとらないですね。

このように、変数のとり得る値の範囲のことを、変域と言います。変域は、\[ 0\leqq x \leqq 10 \]というように、不等式で表すことが多いです。今後、考える問題によっては、変域を考える必要が出てくるので、意識しておくようにしましょう。

おわりに

ここでは、比例の性質を見ました。 $y$ が $x$ に比例するとき、値の対応はどうなっているかは、式に代入すれば求めることができます。また、 $x$ を2倍、3倍、…とすると $y$ も2倍、3倍、…と変化していくという性質、 $\dfrac{y}{x}$ の値が一定であるという性質も重要なので、覚えておきましょう。