【標準】有理数の分類(有理数は整数・有限小数・循環小数のどれかになる)

ここでは、有理数を小数で表したとき、割り切れないなら循環小数であることを見ていきます。

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割り切れない有理数

【基本】実数の分類でも見たように、整数 $m$ と0でない整数 $n$ を使って $\dfrac{m}{n}$ と表される数を、有理数というのでした。この有理数の中で、 $\dfrac{1}{3}$ や $\dfrac{1}{7}$ のように、割り切れないものについて考えてみましょう。

$\dfrac{1}{3}$ が $0.333\cdots$ となることは簡単に確かめられます。 $\dfrac{1}{7}$ を途中まで計算すると、次のようになります。
\begin{array}{r}
0.1428571\\
7 \
\overline{ ) \ 1.0 \color{White}{000000} } \\
\underline{\color{White}{0.}7 \color{White}{000000} } \\
\color{White}{0.} 30 \color{White}{00000} \\
\underline{\color{White}{0.}28 \color{White}{00000} } \\
\color{White}{0.0} 20 \color{White}{0000} \\
\underline{\color{White}{0.0}14 \color{White}{0000} } \\
\color{White}{0.00} 60 \color{White}{000} \\
\underline{\color{White}{0.00}56 \color{White}{000} } \\
\color{White}{0.000} 40 \color{White}{00} \\
\underline{\color{White}{0.000}35 \color{White}{00} } \\
\color{White}{0.0000} 50 \color{White}{0} \\
\underline{\color{White}{0.0000}49 \color{White}{0} } \\
\color{White}{0.00000} 10 \color{White}{} \\
\underline{\color{White}{0.00000}7 \color{White}{} } \\
\color{White}{0.000000} 3 \\
\end{array}この割り算を見てもわかる通り、最後の「10÷7」は、最初の「10÷7」と同じです。なので、この後も同じ割り算が登場し、商も余りも同じ順番で繰り返し現れることがわかります。商は、 $142857$ が繰り返し登場し、循環小数になることがわかります。

これらのことを踏まえ、一般的な場合で考えてみましょう。

$m,n$ を正の整数とし、 $m$ を $n$ で割るとしましょう。このとき、余りは、 $0$ から $n-1$ までの整数のどれかになります。

割り算を繰り返して、どこかで余りが0になれば、そこで計算が終わるので、このときは、整数か有限小数になります。

余りがいつまでも0にならない場合を考えましょう。余りは $1$ から $n-1$ までの整数です。なので、 $n$ 回目までの割り算のどこかで、同じ余りが出てくるので、上の $1\div 7$ のときと同じように、途中から商も余りも同じ順番で繰り返し現れることがわかります。よって、小数で表したときに、途中から同じ数字の配列が繰り返し出てくるので、循環小数になることがわかります。

有理数の分類

先ほど見た内容から、整数 $m$ と0以外の整数 $n$ を使って $\dfrac{m}{n}$ と表される数は、整数か、有限小数か、循環小数のどれかになることがわかります。 $m$ が $n$ の倍数なら、整数となります。倍数でない場合は、途中で割り切れるなら有限小数です。割り切れないなら、途中から同じ数字の列の繰り返しになることを先ほど確認したので、循環小数となります。

逆に、整数・有限小数・循環小数は、 $\dfrac{m}{n}$ の形で書くことができます。 $n=1$ とすれば、すべての整数を表現できます。有限小数の場合は、10を何度も掛ければ整数になるので、 $\dfrac{m}{10^k}$ の形で書けます。また、【標準】循環小数と分数で見たように、循環小数は $\dfrac{m}{n}$ の形で書けることがわかります。

以上から、次のことがわかります。

有理数の分類
有理数は、整数、有限小数、循環小数のどれかで表すことができる。
逆に、整数、有限小数、循環小数は、分母と分子が整数である分数で表すことができるので、有理数である。

おわりに

ここでは、割り切れない有理数が循環小数となること、また、これらを踏まえて、有理数が、整数、有限小数、循環小数のどれかになることを見ました。