【応用】少なくとも1つがある値になることを示す問題

🕒 2017/05/21 🔄 2023/07/13

ここでは、「少なくとも１つの変数がある値になること」を示す問題を考えます。等式の証明ではなさそうですが、等式の証明として解けることがあります。

📘 目次

少なくとも１つがある値になること

例題

$x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ のとき、 x, y, z のうち1つは $1$ であることを示しなさい。

まず、単純にやるなら、 $x+y+z=1$ から、文字を減らそうかな、と考えるのが自然です。この式から\[ z=1-x-y \]が得られます。

もう1つの条件式を変形すると
\begin{eqnarray} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} &=& 1 \\[5pt] yz+zx+xy &=& xyz \\[5pt] (x+y-xy)z+xy &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここに、上の式 $z=1-x-y$ を代入すると \begin{eqnarray} (x+y-xy)(1-x-y)+xy &=& 0 \\[5pt] x+y-xy -x^2-xy+x^2y -xy-y^2+xy^2 +xy &=& 0 \\[5pt] x+y-2xy -x^2+x^2y -y^2+xy^2 &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。最後は、 $xy$ だけ少し計算しました。

続いてこれを因数分解していきます。まず x の降べきの順にして因数分解をします。
\begin{eqnarray} (y-1)x^2 +(y^2-2y+1)x +(-y^2+y) &=& 0 \\[5pt] (y-1)x^2 +(y-1)^2x -y(y-1) &=& 0 \\[5pt] (y-1)\{ x^2 +(y-1)x -y \} &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。次に波かっこの中を y の降べきの順にして因数分解をします。 \begin{eqnarray} (y-1)\{ (x-1)y +x^2-x \} &=& 0 \\[5pt] (y-1)\{ (x-1)y +x(x-1) \} &=& 0 \\[5pt] (y-1)(x-1)(y+x) &=& 0 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。因数分解に慣れていないと、なかなか計算が大変ですね。

最後の結果から、 $x-1=0$ または $y-1=0$ または $x+y=0$ のどれかが成り立つことがわかります。もし $x+y=0$ なら、 $x+y+z=1$ という条件式から $z=1$ が得られます。そのため、結局、 x, y, z のどれか1つは $1$ になることがわかります。

これで、示したいことが示せました。

少なくとも１つがある値になること別解

上のように解いてもいいのですが、別の切り口で考えてみましょう。

上の解き方では、2つの条件式を組み合わせて因数分解をしていき、\[ (y-1)(x-1)(y+x) = 0 \]という式を導きました。これから、「 $x-1=0$ または $y-1=0$ または $x+y=0$ のどれかが成り立つ」ことがわかるのでしたね。

上の解答では、この「 $abc=0$ だから、どれか1つは0だ」という論法を一番最後で使いましたが、一番最初から使うという発想で考え直してみましょう。

上の例題で示したかったことは、「 $x=1$ または $y=1$ または $z=1$ 」が成り立つことです。これは、上の論法の逆にあたる次の式\[ (x-1)(y-1)(z-1)=0 \]が成り立つことと同じですね。なので、上の例題を示したければ、この等式が成り立つことを示せればいいんですね。

この方法は、必ずうまくいくという保証はないですが、スッキリ解けるケースもあります。上の式を示そうという方針で、左辺を展開していくと
\begin{eqnarray} & & (x-1)(y-1)(z-1) \\[5pt] &=& (xy-x-y+1)(z-1) \\[5pt] &=& xyz -xz -yz +z \\ & & -xy+x+y-1 \\[5pt] &=& xyz -(xy+yz+zx) \\ & & +(x+y+z)-1 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。条件式から、 $x+y+z=1$ が成り立ちます。また、 $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1$ から、 $xy+yz+zx=xyz$ が得られます。なので、最後の式は $0$ であることが示せました。

$(x-1)(y-1)(z-1)=0$ なので、 x, y, z のどれか1つは $1$ であることがわかります。これで証明終わりです。

1つ目の解き方と比べれば、因数分解がないため、だいぶ計算が楽です。しかし、「 $x=1$ または $y=1$ または $z=1$ 」と聞いて、「 $(x-1)(y-1)(z-1)=0$ を示せばいいんだ」と気付くのは至難の業ですね。