【応用】数列の極限（二項定理）

🕒 2018/08/10 🔄 2023/06/24

ここでは、数列の極限を求めるときに、二項定理を利用するものを見ていきます。

📘 目次

数列の極限と二項定理

二項定理を用いて数列の極限を考える、というのは、【基本】等比数列の極限のところで見ています。 $\{r^n\}$ の極限は、 $r\gt 1$ なら正の無限大に発散しますが、そのことを示すときに使いました。

$r=1+h$ とすると、 $r\gt 1$ なら $h\gt 0$ となります。これに加え、二項定理から、
\begin{eqnarray} r^n &=& (1+h)^n \\[5pt] &\geqq & 1+nh \\[5pt] \end{eqnarray}が言えるのでした（参考：【標準】n乗の展開と二項定理）。最後の部分は、二項定理を使って展開すると出てくる項 ${}_{n}\mathrm{C}_k h^k$ はすべて0以上なので、 $k\geqq 2$ の部分を無視したわけですね。

この不等式を見れば、最後の式が $n\to\infty$ のときに $1+nh\to\infty$ となることがわかるので、 $r^n\to\infty$ となることもわかります。

この手法を応用すれば、他の場合の極限も考えることができます。

二項定理を用いた数列の極限の例１

例題1

次の極限を求めなさい。\[ \lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{2^n} \]

分母も分子も正の無限大に発散します。しかし、【標準】数列の極限で見たように、分母・分子を同じ数で割る方法もあまりうまくいきません。 $n,2^n$ が似た形をしていないため、直接比べることは難しいんですね。

そこで、先ほど見た手法が使えます。二項定理を使えば、 $2^n$ の部分から、 $n$ の1乗や2乗が出てきます。二項定理を使うと、 $n\geqq 2$ のときは、
\begin{eqnarray} 2^n &=& (1+1)^n \\[5pt] &\geqq& 1+n+\dfrac{n(n-1)}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。二項定理を使って展開した項のうち、3つだけを取り出しています。他の項は0以上ですね。これより、 \begin{eqnarray} \dfrac{n}{2^n} &\leqq & \dfrac{n}{1+n+\dfrac{n(n-1)}{2} } \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{n} }{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{n}+\dfrac{(n-1)}{2n} } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。ここで、 $n\to\infty$ としたとき、最後の式の分子は $0$ に収束し、分母は $\dfrac{1}{2}$ となるため、全体では最後の式は $0$ に収束します。また、 $\dfrac{n}{2^n}$ は正なので、はさみうちの原理から\[ \lim_{n\to\infty} \dfrac{n}{2^n}=0 \]となることがわかります。

これは、 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{2^n}$ や $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n^3}{2^n}$ の場合も、同じように $0$ に収束することがわかります。二項定理で、分子より速く大きくなるようなところまで抜き出せば、分母の方がはやく無限大に行くことがわかります。同じようにはさみうちの原理から示せます。

また、 $2^n$ の $2$ のところも、 $1$ より大きければ、他の数字でも成り立ちます。本質的には、 $1+h$ とおいたときに、 $h\gt 0$ となる条件が大事なので、この条件があれば、同様に示せます。

このことは、別のところでも将来出てきますが、$n$ の多項式よりも、 $n$ 乗の方が発散するスピードが速い ということは今のうちに知っておくといいでしょう。