【応用】2の3乗根は無理数か

🕒 2018/06/12 🔄 2023/07/13

ここでは、2の3乗根が無理数となることを示します。

📘 目次

2の3乗根が無理数であることの証明（背理法）

$\sqrt[3]{2}$ が無理数であることを示してみましょう。基本的には、 $\sqrt{2}$ が無理数であることの証明と同じ流れです（参考：【基本】背理法）。

大きな方針としては、「もし有理数だったら矛盾することを示す」という背理法を使った証明です。この方針で考えていきます。

もし有理数だったとしたら、分数で書けるはずです。なので、有理数と仮定すると、 $\sqrt[3]{2}=\dfrac{q}{p}$ となる自然数 $p,q$ が存在します。ここで、約分をして、 $p,q$ は互いに素（最大公約数が $1$ ということ）とします。

累乗根のままだと考えにくいので、3乗してみます。両辺を3乗して整理すると\[ q^3=2p^3 \]となります。右辺が偶数なので、 $q^3$ も偶数です。もし、 q が奇数だったら $q^3$ も奇数になってしまうので、 q は偶数となります。だから、 $q=2r$ となる自然数 $r$ が存在することがわかります。

これを先ほどの式に代入して整理すると
\begin{eqnarray} q^3 &=& 2p^3 \\[5pt] (2r)^3 &=& 2p^3 \\[5pt] p^3 &=& 4r^3 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。最後の式の右辺は偶数なので、 $p^3$ も偶数です。 $p$ が奇数だと $p^3$ は偶数にならないので、 $p$ は偶数となります。

つまり、 $\sqrt[3]{2}=\dfrac{q}{p}$ と書けるとすると、 $p,q$ はどちらも偶数となり、互いに素であることに矛盾します。このことから、 $\sqrt[3]{2}$ が無理数であることがわかります。これで証明はおしまいです。

背理法を使わない証明

他にも証明方法はありますが、【発展】ルート2が無理数であることの証明（背理法を使わない方法）と同じ形式の証明も見ておきましょう。

p, qを自然数とします。

自然数の範囲で2で割れる回数は、 $2p^3$ の場合は $3m+1$ 回, $q^3$ の場合は $3n$ 回となります（ m, n は0以上の整数）。よって、2で割れる回数が一致することはありません。だから、どんな自然数 p, q を持ってきても\[ 2p^3 \ne q^3 \]となります。3乗根同士も等しくないので、\[ \sqrt[3]{2}p \ne q \]となります（同じだったら、3乗したもの同士も同じになってしまいます）。

このことから、任意の自然数 p, q に対して、\[ \sqrt[3]{2} \ne \frac{q}{p}\]となるので、$\sqrt[3]{2}$ は無理数となることがわかります。これで証明はおしまいです。

こちらの証明は、分数で書けないことを直接的に示していますが、少し思いつきにくいかもしれません。