【応用】比例を表す式

🕒 2019/06/14 🔄 2024/10/16

ここでは、少し変わった条件から比例の式を考える問題を見ていきます。

📘 目次

少し変わった条件の比例

例題1

$y-1$ は $x+3$ に比例し、 $x=1$ のとき $y=3$ です。 $y=2$ となるときの $x$ の値を求めなさい。

【基本】比例を表す式以降では、「y が x に比例する」という状況でしたが、今回は少し違っていますね。 $y-1$ は $x+3$ に比例する、という状況です。こういう場合はどう考えればいいでしょうか。

1つの考え方は、別の文字を利用する、という方法です。 $Y=y-1$, $X=x+3$ とすれば、「 $Y$ は $X$ に比例する」と言い換えられます。このことから、比例定数を $a$ として、 $Y=aX$ と書けることがわかります。ここで、もとの $x,y$ に戻すと、\[ y-1=a(x+3) \]となります。この式を利用して考えていくことができます。

別の考え方は、「片方を2倍、3倍、…すると、もう片方も2倍、3倍、…とともなって変化する」ことを利用する方法です。このことから、比の値が一定であることがわかります。この値を $a$ とし、 $x+3\ne 0$ とすると、\[ \dfrac{y-1}{x+3}=a \]と書けることがわかります。このことから、先ほどと同じ式 $y-1=a(x+3)$ が得られます。 $x+3=0$ のときは $y-1=0$ なので、この式で表せていることがわかります。

どちらの考え方でも、 $x,y$ の関係式は、\[ y-1=a(x+3) \]と表すことができます。 $x=1$ のときに $y=3$ なので、
\begin{eqnarray} 3-1 &=& a(1+3) \\[5pt] a &=& \frac{1}{2} \end{eqnarray}であることがわかります。よって、 $y-1=\dfrac{1}{2}(x+3)$ が成り立ちます。 $y=2$ となるときを求めればいいので、 \begin{eqnarray} 2-1 &=& \dfrac{1}{2}(x+3) \\[5pt] 2 &=& x+3 \\[5pt] x &=& -1 \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。