【基本】一次分数関数のグラフ

🕒 2018/06/19 🔄 2023/06/22

ここでは、一次分数関数のグラフがどうなるかを見ていきます。見慣れた形が出てきます。

📘 目次

もっともシンプルな例

【基本】一次分数関数で見たように、一次分数関数とは、\[ y=\dfrac{ax+b}{cx+d} \]で表されるものを言います。ただし、 $c\ne0$, $ad-bc\ne0$ とします。

こうした一次分数関数の式の中で、一番シンプルなものは、 $a=0$, $d=0$ とした場合でしょう。 $k=\dfrac{b}{c}$ とおけば、\[ y=\dfrac{k}{x} \]となります。これは、すでに見たことがある式です。反比例ですね。グラフは、次のように双曲線になります。

上のグラフは、 $y=\dfrac{1}{x}$ のグラフです。 $k$ が正の場合であれば、上のグラフのように、右上と左下に曲線が現れます。負の場合であれば、左上と右下に現れます。

曲線がある直線に近づいていく場合、その直線のことを漸近線(漸近線、asymptote) といいます。 $k$ が正の場合でも負の場合でも、漸近線は $x$ 軸と $y$ 軸になります。このように、漸近線が直交するような双曲線は、直角双曲線と呼ばれています。

この場合は問題ないでしょう。

もっともシンプルな例を平行移動する

$y=\dfrac{k}{x}$ を、 $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものを考えましょう。

平行移動前の点を $(X,Y)$ と書き、平行移動後の点を $(x,y)$ と書くと、 $x=X+p$, $y=Y+q$ が成り立ちます。平行移動前は\[ Y=\dfrac{k}{X} \]が成り立っているので、ここに $X=x-p$, $Y=y-q$ を代入すると
\begin{eqnarray} y-q &=& \dfrac{k}{x-p} \\[5pt] y &=& \dfrac{k}{x-p}+q \\[5pt] &=& \dfrac{qx+(k-pq)}{x-p} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。最後の式を見ると、一次分数関数の形になっていますね。なので、平行移動後のグラフは、一次分数関数のグラフになっていることがわかります。

一次分数関数のグラフと性質

一次分数関数 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ は、 $y=\dfrac{k}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものなる。

平行移動したことからもわかりますが、\[ y=\dfrac{k}{x-p}+q \]のグラフは、双曲線であり、漸近線が $x=p$ と $y=q$ の2直線であることがわかります。また、定義域は $x\ne p$ となります。 $y=q$ となることはないので、値域は、 $y\ne q$ となります。

一般の一次分数関数のグラフ

先ほどは、「 $y=\dfrac{k}{x}$ のグラフを平行移動すれば、一次分数関数のグラフが得られる」という話をしましたが、一次分数関数 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ のすべての場合をカバーできているかどうかは、明らかではないですね。式変形をして、少し確かめてみましょう。

\begin{eqnarray} y &=& \dfrac{ax+b}{cx+d} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{a}{c}x+\frac{b}{c} }{x+\frac{d}{c} } \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{a}{c}\left(x+\frac{d}{c}\right)-\frac{ad}{c^2}+\frac{b}{c} }{x+\frac{d}{c} } \\[5pt] &=& \dfrac{a}{c}+\dfrac{-\frac{ad}{c^2}+\frac{b}{c} }{x+\frac{d}{c} } \\[5pt] &=& \dfrac{a}{c}+\dfrac{\frac{1}{c^2}(-ad+bc)}{x+\frac{d}{c} } \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $c\ne 0$ なので、こうした変形ができます。また、 $ad-bc\ne0$ なので、最後の項が $0$ でないこともわかります。

この式を見ると、 $k=\dfrac{1}{c^2}(-ad+bc)$, $p=-\dfrac{d}{c}$, $q=\dfrac{a}{c}$ とすれば、 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ のグラフが $y=\dfrac{k}{x}$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したものなる、ということができるようになります。

この式は覚える必要はありません。具体的な変形は、【基本】一次分数関数#一次分数関数の変形で見たように、式を割り算するだけです。上とほとんど同じ計算をすることになりますが、具体的なほうがだいぶ計算はしやすいです。

具体的な例で見てみましょう。 $y=\dfrac{4x+5}{2x+5}$ のグラフをかけと言われたら、
\begin{eqnarray} y &=& \dfrac{4x+5}{2x+5} \\[5pt] &=& \dfrac{2(2x+5)-5}{2x+5} \\[5pt] &=& 2-\dfrac{5}{2x+5} \\[5pt] &=& 2-\dfrac{\frac{5}{2} }{x-\left(-\frac{5}{2}\right)} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、 $y=-\dfrac{5}{2x}$ のグラフを、 x 軸方向に $-\dfrac{5}{2}$, y 軸方向に $2$ だけ平行移動したグラフをかけばいいんだな、ということがわかります。「 $x$ 軸方向に $-5$ 」ではないことに注意しましょう。