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【基本】一次方程式の解き方

🕒 2019/05/19 🔄 2023/05/01

ここでは、等式の性質を使って、一次方程式の解き方を見ていきます。

📘 目次

等式の性質の復習

【基本】方程式と等式の性質では、5つの「等式の性質」を見ました。まとめておきましょう。いずれも、つりあっている天秤やシーソーを思い浮かべれば、成り立つことがわかるでしょう。

1つ目と2つ目は、「等式の両辺に同じ数や式を加えたり引いたりしても、等式は成り立つ」という内容です。式で書くと、次のようになります。

　$A=B$ ならば、 $A+C=B+C$ が成り立つ

　$A=B$ ならば、 $A-C=B-C$ が成り立つ

3つ目は、「等式の両辺に同じ数を掛けても、等式は成り立つ」という内容です。式で書くと、次のようになります。

　$A=B$ ならば、 $AC=BC$ が成り立つ

4つ目は、「等式の両辺を0以外の同じ数で割っても、等式は成り立つ」という内容です。式で書くと、次のようになります。

　$A=B$ ならば、 $C\ne 0$ に対して $\dfrac{A}{C}=\dfrac{B}{C}$ が成り立つ

最後の、5つ目は、「等式の両辺を入れ替えても、等式は成り立つ」という内容です。式では次のようになります。

　$A=B$ ならば、 $B=A$ が成り立つ

1つ目から4つ目は、両辺が等しいのだから、両辺に同じ操作をすれば、結果も等しくなる、ということですね。釣り合っている天秤に対して、同じ重さを足したり引いたりしても釣り合ったままだし、のせているものを2倍にしたり半分にしても釣り合ったまま、というのは理解できると思います。5つ目も、天秤の両側を入れ替えると考えれば、成り立つことがわかるでしょう。

移行

先ほど見た等式の性質を使って、方程式を解いてみましょう。上のリンク先でも考えた\[ 120x+140=500 \]について見てみます。最終的に、 $x$ が何かを知りたいので、左辺の $120$ と $140$ が邪魔ですね。まず、 $140$ を両辺から引くと、\[ 120x+140-140=500-140 \]となり、両辺をそれぞれ計算すると\[ 120x=360 \]となります。さらに、 $120$ で両辺を割れば\[ x=3 \]となり、方程式の解を求めることができます。 $120x+140=500$ に $x=3$ を代入すれば等式が成り立つことから、たしかに $x=3$ が解であることがわかります。

この解き方のうち、 $140$ を引いた箇所について見てみましょう。元の方程式 $120x+140=500$ の両辺から $140$ を引きましたが、そのとき、左辺は $120x$ だけになります。左辺の $140$ が邪魔なので、これを引いたわけですからね。また、右辺も同じように $140$ を引かないといけません。右辺だけ $140$ を残した形にすると、\[ 120x=500-140 \]となります。これともとの式とを、次のように並べて見比べてみましょう。
\begin{eqnarray} 120x+140 &=& 500 \\[5pt] 120x &=& 500-140 \\[5pt] \end{eqnarray}左辺にあった $140$ が、符号を変えて右辺に登場していることがわかるでしょう。

このように、等式の一方の辺にある項は、符号を変えてもう片方の辺に移すことができます。このことを、移行（いこう）といいます。

一次方程式の解き方

先ほど、移行の説明をしました。大げさな名前がついていますが、やっていることは単純です。等式の性質を使って、同じ数を加えたり引いたりしているだけです。例えば、次の方程式を考えてみましょう。\[ 6x-4=-x-25 \]最終的に、 $x$ が何かを知りたいので、「 $x=$ 答え」という形に変形していくことになります。

すると、まず、右辺の $-x$ を左辺に持ってきたいですね。そのため、両辺に $x$ を足せばいいのですが、そうすると、右辺の $-x$ は消え、左辺に $+x$ があらわれます。こうして、\[ 6x-4+x=-25 \]となります。右辺にあった $-x$ が、符号を変えて反対側の左辺に登場した、と見えますね。 $-x$ を移行したわけですが、実際には、両辺に $x$ を足しているだけです。

さらに、左辺の $-4$ も邪魔です。両辺に $4$ を足すと考えてもいいし、左辺の $-4$ を移行すると考えてもいいですが、変形すると次のようになります。\[ 6x+x=-25+4 \]両辺はそれぞれ計算できるので、
\begin{eqnarray} 7x &=& -21 \\[5pt] x &=& -3 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。これが答えです。

計算が合っているかを確かめるには、実際に、 $x=-3$ をもとの方程式に代入して、等式が成り立つことを確認します。 $6x-4$ も $-x-25$ もともに $-22$ なので、たしかに等式が成り立つことがわかります。このようにして検算ができます。

一次方程式は、このように、まず左辺に文字を含む項をまとめ、右辺に数字だけの項をまとめます。そうして、 $ax=b$ の形にして、両辺を $x$ の係数 $a$ で割ると、 $x=\bigcirc$ という解が得られます。このようにして、一次方程式を解いていきます。

例題

次の方程式を解きましょう。
(1) $2x=15-3x$
(2) $2x-5=3x-1$

(1)は、 $-3x$ を左辺に移行して計算します。
\begin{eqnarray} 2x &=& 15-3x \\[5pt] 2x+3x &=& 15 \\[5pt] 5x &=& 15 \\[5pt] x &=& 3 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。2行目は、1行目の $-3x$ を移行した結果です。1行目の両辺に $3x$ を足した結果と考えてもいいです。4行目は3行目の両辺を $5$ で割った結果です。

(2)は、 $3x$ の移行と $-5$ の移行を同時に行います。
\begin{eqnarray} 2x-5 &=& 3x-1 \\[5pt] 2x-3x &=& 5-1 \\[5pt] -x &=& 4 \\[5pt] x &=& -4 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。2行目は、1行目の移行をした結果です。1行目の両辺に、 $5$ を足し、 $3x$ を引いた結果と考えてもいいです。4行目は3行目の両辺に $-1$ を掛けた結果です。

このように、両辺に同じ数や式を足したり引いたり、数を掛けたり割ったりして変形していくことで、方程式を解くことができます。