東京大学 理系 2023年度 第1問 解説
問題編
問題
(1) 正の整数 $k$ に対し、\[ A_k=\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} |\sin(x^2)|dx \]とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。\[ \frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_k \leqq \frac{1}{\sqrt{k\pi}} \]
(2) 正の整数 $n$ に対し、\[ B_n=\frac{1}{\sqrt{n}} \int_{n\pi}^{2n\pi} |\sin(x^2)|dx \]とおく。極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} B_n$ を求めよ。
考え方
(1)は、左辺と右辺は区間の両端に対応しているので、このことをヒントに、被積分関数を扱いやすい形にしましょう。
(2)は、(1)を見れば、はさむんだろうと予想できますし、分母の $\sqrt{n}$ を使えば、何を使うかも予想しやすいでしょう。方針は立てやすいので、あとは計算を頑張りましょう。
解答編
問題
(1) 正の整数 $k$ に対し、\[ A_k=\int_{\sqrt{k\pi}}^{\sqrt{(k+1)\pi}} |\sin(x^2)|dx \]とおく。次の不等式が成り立つことを示せ。\[ \frac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_k \leqq \frac{1}{\sqrt{k\pi}} \]
解答
$x\gt 0$ のとき、 $y=x^2$ とすると、 $dy=2x dx$ より、$dx =\dfrac{1}{2\sqrt{y}}dy$ なので、
\begin{eqnarray}
A_k
&=&
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin y| \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y}}dy \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。また、 $y=u+k\pi$ とすると $dy=du$ より
\begin{eqnarray}
A_k
&=&
\int_{0}^{\pi} |\sin (u+k\pi)| \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u+k\pi}}du \\[5pt]
&=&
\int_{0}^{\pi} |\sin u \cos k\pi| \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{u+k\pi}}du \\[5pt]
&=&
\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin u}{2\sqrt{u+k\pi}}du \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
$0\lt u \lt \pi$ のとき、 $\sin u \gt 0$ なので、
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin u}{2\sqrt{\pi+k\pi}}du
\leqq
\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin u}{2\sqrt{u+k\pi}}du
\leqq
\int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin u}{2\sqrt{0+k\pi}}du
\end{eqnarray}が成り立つ。ここで
\begin{eqnarray}
\int_{0}^{\pi} \sin u du
&=&
[-\cos u]_{0}^{\pi} = 2
\end{eqnarray}なので、
\[ \dfrac{2}{2\sqrt{\pi+k\pi}} \leqq \int_{0}^{\pi} \dfrac{\sin u}{2\sqrt{u+k\pi}}du \leqq \dfrac{2}{2\sqrt{0+k\pi}} \]より、\[ \dfrac{1}{\sqrt{(k+1)\pi}} \leqq A_k \leqq \dfrac{1}{\sqrt{k\pi}}
\]が成り立つ。（終）
解答編 つづき
問題
(2) 正の整数 $n$ に対し、\[ B_n=\frac{1}{\sqrt{n}} \int_{n\pi}^{2n\pi} |\sin(x^2)|dx \]とおく。極限 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} B_n$ を求めよ。
