東京大学 理系 2023年度 第5問 解説
問題編
問題
整式 $f(x)=(x-1)^2(x-2)$ を考える。
(1) $g(x)$ を実数を係数とする整式とし、 $g(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $r(x)$ とおく。 $g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りが等しいことを示せ。
(2) $a,b$ を実数とし、 $h(x)=x^2+ax+b$ とおく。 $h(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_1(x)$ とおき、 $h_1(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_2(x)$ とおく。 $h_2(x)$ が $h(x)$ に等しくなるような $a,b$ の組をすべて求めよ。
考え方
(2)は(1)の応用ですが、7乗がたくさんでてくるので混乱しやすいです。 $f(x)$ の式の形をヒントにして、 $h(x)$ の係数を決めるような問題はよくあるパターンなので、(1)の適用の仕方がわかれば、あとは何をすればいいかは思いつきやすいです。
解答編
問題
整式 $f(x)=(x-1)^2(x-2)$ を考える。
(1) $g(x)$ を実数を係数とする整式とし、 $g(x)$ を $f(x)$ で割った余りを $r(x)$ とおく。 $g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りが等しいことを示せ。
解答
$g(x)$ を $f(x)$ で割ったときの商を $q(x)$ とすると\[ g(x)=q(x)f(x)+r(x) \]が成り立つ。よって
\begin{eqnarray}
& &
g(x)^7-r(x)^7 \\[5pt]
&=&
\{g(x)-r(x)\} \{g(x)^6+g(x)^5r(x)+\cdots+g(x)r(x)^5+r(x)^6\} \\[5pt]
&=&
f(x)\cdot q(x) \{g(x)^6+g(x)^5r(x)+\cdots+g(x)r(x)^5+r(x)^6\} \\[5pt]
\end{eqnarray}より、$g(x)^7-r(x)^7$ は $f(x)$ で割り切れるので、 $g(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りと $r(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りは等しい。（終）
解答編 つづき
問題
(2) $a,b$ を実数とし、 $h(x)=x^2+ax+b$ とおく。 $h(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_1(x)$ とおき、 $h_1(x)^7$ を $f(x)$ で割った余りを $h_2(x)$ とおく。 $h_2(x)$ が $h(x)$ に等しくなるような $a,b$ の組をすべて求めよ。
解答
(1)より、$h(x)^{49}=\{h(x)^7\}^7$ を $f(x)$ で割った余りと $h_1(x)^7$ を $f(x)$ で割った余り $h_2(x)$ は等しい。 $h(x)$ は $f(x)$ より次数が低いので、 $h(x)^{49}-h(x)$ が $f(x)$ で割り切れることと $h(x)=h_2(x)$ となることは同値である。よって、このような $h(x)$ をもとめる。
一般に、整式 $A(x)$ を $f(x)=(x-1)^2(x-2)$ で割ったときの商を $q(x)$、余りを $r(x)$ とすると、\[ r(x)=\alpha(x-1)^2+\beta(x-1)+\gamma \]と表すことができる。このとき、 $r(1)=0$ とすると $\gamma=0$ となり、さらに $r'(1)=0$ とすると $\beta=0$ となり、さらに $r(2)=0$ とすると $\alpha=0$ が得られる。また、 $f(1)=f(2)=0$ であり、 $f(x)q(x)$ を微分したものに $x=1$ を代入したときも $0$ となる（すべての項に $(x-1)$ が含まれるため）。以上から、 $A(x)$ が $f(x)$ で割り切れることは $A(1)=A(2)=A'(1)=0$ が成り立つことと同値である。
よって、$h(x)^{49}-h(x)$ が $f(x)$ で割り切れることは、以下の3つが成り立つことと同値である。
\begin{eqnarray}
& & h(1)^{49}-h(1) = 0 \\[5pt]
& & h(2)^{49}-h(2) = 0 \\[5pt]
& & 49 h(1)^{48} h'(1)-h'(1) = 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}$h(x)=x^2+ax+b$ なので、これらは以下のように書きかえることができる。
\begin{eqnarray}
& & (1+a+b) \{(1+a+b)^{48}-1\} = 0 \\[5pt]
& & (4+2a+b) \{(4+2a+b)^{48}-1\} = 0 \\[5pt]
& & (2+a) \{49(1+a+b)^{48}-1\} = 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}1つ目の式から、 $1+a+b$ は $0,1,-1$ のどれかなので、3つ目の式より\[ a=-2 \]となることがわかる。これを上の式の1つ目と2つ目の式に代入すると
\begin{eqnarray}
& & (b-1) \{(b-1)^{48}-1\} = 0 \\[5pt]
& & b(b^{48}-1) = 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。2つ目の式から、 $b=0,1,-1$ となるが、このうち、1つ目を満たすものは $b=0,1$ のみである。
以上から、求める組は\[ (a,b)=(-2,0),\ (-2,1) \]である。（答）
