東京大学 理系 2015年度 第4問 解説

解答編

【問題】
数列$\{ p_n \}$を次のように定める。
\[
p_1=1, \ p_2=2, \ p_{n+2} = \frac{p_{n+1}^2+1}{p_n} \quad (n=1,2,3,\cdots)
\]

(1) $\displaystyle\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}$がnによらないことを示せ。

(2) すべての$n=2,3,4,\cdots$に対し、$p_{n+1}+p_{n-1}$を$p_n$のみを使って表せ。

(3) 数列$\{ q_n \}$を次のように定める。
\[
q_1=1, \ q_2=1, \ q_{n+2} = q_{n+1} + q_n \ (n=1,2,3,\cdots)
\] すべての$n=1,2,3,\cdots$に対し、$p_n=q_{2n-1}$を示せ。

【解答】
(1)
漸化式より、$p_{n+1}^2+1=p_np_{n+2}$である。よって、
\begin{eqnarray}
\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}
&=& \frac{p_np_{n+2}+p_n^2}{p_{n+1}p_n} \\[5pt] &=& \frac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}}
\end{eqnarray}
と変形できる。最後の式を$a_n$とおく。

$a_{n+1}-a_n=0$を示せばよい。
\begin{eqnarray}
& & \frac{p_{n+3}+p_{n+1}}{p_{n+2}} – \frac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}} \\[5pt] &=& \frac{(p_{n+1}p_{n+3}+p_{n+1}^2) – (p_{n+2}^2+p_np_{n+2})}{p_{n+2}p_{n+1}} \\[5pt] &=& \frac{(p_{n+1}p_{n+3} – p_{n+2}^2) – (p_np_{n+2} – p_{n+1}^2) }{p_{n+2}p_{n+1}}
\end{eqnarray}
ここで、漸化式より、$p_np_{n+2} – p_{n+1}^2=1$であり、$p_{n+1}p_{n+3} – p_{n+2}^2=1$も成り立つから、
\begin{eqnarray}
& & \frac{(p_{n+1}p_{n+3} – p_{n+2}^2) – (p_np_{n+2} – p_{n+1}^2) }{p_{n+2}p_{n+1}} \\[5pt] &=& \frac{1-1 }{p_{n+2}p_{n+1}} = 0
\end{eqnarray}
よって題意が示された。

(2)
(1)より
\begin{eqnarray}
\frac{p_{n+1}^2+p_n^2+1}{p_{n+1}p_n}
&=& \frac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}} \\[5pt] &=& \frac{p_3+p_1}{p_2} = \frac{5+1}{2} = 3
\end{eqnarray}

よって、
\begin{eqnarray}
\frac{p_{n+2}+p_n}{p_{n+1}} = 3 \\[5pt] p_{n+2}+p_n = 3p_{n+1}
\end{eqnarray}

これがすべての自然数$n$に対して成り立つので、2以上の整数$n$に対して、$p_{n+1}+p_{n-1}$は$3p_n$と書けることがわかる。

(3)
$p_n=q_{2n-1}$を数学的帰納法で示す。

(ア) $n=1$のとき
$p_1=1$ で $q_1=1$なので、$p_1=q_1$は成り立つ。

(イ) $n=2$のとき
$p_2=2$ で $q_3=q_2+q_1=2$なので、$p_2=q_2$は成り立つ。

(ウ) nk(kは2以上の整数)のとき、$p_k=q_{2k-1}$と$p_{k-1}=q_{2k-3}$が成り立つとする。このとき、$p_{k+1}=q_{2k+1}$が成り立つことを示す。

(2)から$p_{k+1}=3p_k-p_{k-1}$が成り立つ。$q_n$に対する漸化式も用いると、
\begin{eqnarray}
p_{k+1} – q_{2k+1}
&=& 3 p_k – p_{k-1} – q_{2k+1} \\
&=& 3 q_{2k-1} – q_{2k-3} – ( q_{2k} + q_{2k-1} ) \\
&=& 2 q_{2k-1} – q_{2k-3} – q_{2k} \\
&=& 2 q_{2k-1} – q_{2k-3} – ( q_{2k-1} + q_{2k-2} ) \\
&=& q_{2k-1} – q_{2k-3} – q_{2k-2} = 0
\end{eqnarray}
となるので、$p_{k+1}=q_{2k+1}$が成り立つ。

(ア)(イ)(ウ)から、すべてのnに対して$p_n=q_{2n-1}$となることが示された。

【解答終】

【解説】
(3)の数学的帰納法では、$n=1$だけでなく、$n=2$のときも示しています。なぜ2つ示しているかというと、(ウ)の証明の中で、「前の結果」だけでなく「前の前の結果」も用いるからです。このため、$n=1,2$の場合を事前に示しておく必要があります。

ちなみに、$q_n$はフィボナッチ数列ですね。