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東京大学 文系 2022年度 第3問 解説

問題編

問題

 数列 $\{a_n\}$ を次のように定める。\[ a_1=4,\ a_{n+1}=a_n+n(n+2) \quad (n=1,2,3,\cdots) \]

(1) $a_{2022}$ を $3$ で割った余りを求めよ。

(2) $a_{2022}, a_{2023}, a_{2024}$ の最大公約数を求めよ。

考え方

(1)は書き出してみて法則を見つけましょう。

(2)は(1)の結果を使います。 $3$ 以外の素因数については、自分で気づいて対処するしかありません。


解答編

問題

 数列 $\{a_n\}$ を次のように定める。\[ a_1=4,\ a_{n+1}=a_n+n(n+2) \quad (n=1,2,3,\cdots) \]

(1) $a_{2022}$ を $3$ で割った余りを求めよ。

(2) $a_{2022}, a_{2023}, a_{2024}$ の最大公約数を求めよ。

解答

2つの整数 $a,b$ の差が正の整数 $p$ で割り切れることを\[ a \equiv b \pmod p \]と表すことにする。

(1)
整数 $m$ に対し、 $m\equiv 0 \pmod 3$ ならば $m^2\equiv 0\pmod 3$ であり、これ以外の場合は $m^2\equiv 1\pmod 3$ である。また、 $m\equiv 2\pmod 3$ ならば $m(m+2)\equiv 2 \pmod 3$ であり、これ以外の場合は $m(m+2)\equiv 0\pmod 3$ である。

このことから、
 $a_2\equiv 1+0 \equiv 1\pmod 3$
 $a_3\equiv 1+2 \equiv 0\pmod 3$
 $a_4\equiv 0+0 \equiv 0\pmod 3$
 $a_5\equiv 0+0 \equiv 0\pmod 3$
 $a_6\equiv 0+2 \equiv 2\pmod 3$
 $a_7\equiv 1+0 \equiv 1\pmod 3$
となる。

以下では、正の整数 $m$ に対し、 $a_{6m} \equiv 2 \pmod 3$ となることを示す。

(i) $m=1$ のときは、上の計算からわかる。

(ii) $m=k$ のとき($k$ は正の整数)に $a_{6k} \equiv 2 \pmod 3$ とすると
 $a_{6k+1}\equiv 1+0 \equiv 1\pmod 3$
 $a_{6k+2}\equiv 1+0 \equiv 1\pmod 3$
 $a_{6k+3}\equiv 1+2 \equiv 0\pmod 3$
 $a_{6k+4}\equiv 0+0 \equiv 0\pmod 3$
 $a_{6k+5}\equiv 0+0 \equiv 0\pmod 3$
 $a_{6k+6}\equiv 0+2 \equiv 2\pmod 3$
となるので、 $a_{6(k+1)} \equiv 2 \pmod 3$ だから、 $m=k+1$ のときも成り立つ。

(i)(ii)より、 $a_{6m} \equiv 2 \pmod 3$ である。 $2022=6\cdot337$ なので、 $a_{2022}$ を $3$ で割った余りは $2$ である。(答)

(2)
$a_{2022}, a_{2023}, a_{2024}$ の最大公約数を $d$ とおく。

$a_{2023}=a_{2022}^2+2022\cdot 2024$ である。 $a_{2022}$ も $a_{2023}$ も $d$ で割り切れるので、 $2022\cdot 2024$ は $d$ で割り切れる。

$a_{2024}=a_{2023}^2+2023\cdot 2025$ なので、 $2023\cdot 2025$ も $d$ で割り切れる。

$d$ がある素数 $p$ で割り切れるとすると、 $2022,2024$ の少なくとも片方は $p$ で割り切れて、 $2023,2025$ の少なくとも片方は $p$ で割り切れる。これらの割り切れるもの同士の差も $p$ で割り切れる。この差は最大でも $2025-2022=3$ なので、 $p$ は $3$ 以下である。

一方、(1)より $a_{2022}$ は $3$ で割り切れない。また、 $2023\cdot 2025$ は奇数なので、 $a_{2023}$ と $a_{2024}$ の偶奇は一致しない。よって、 $d$ は $2$ でも $3$ でも割り切れない。

以上から、 $a_{2022}, a_{2023}, a_{2024}$ の最大公約数は $1$ である。(答)

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