東京大学 文系 2020年度 第1問 解説

問題編

問題

 $a\gt 0$, $b\gt 0$ とする。座標平面上の曲線\[C:\ y=x^3-3a x^2+b \]が、以下の2条件を満たすとする。

 条件1: $C$ は $x$ 軸に接する。

 条件2: $x$ 軸と $C$ で囲まれた領域(境界は含まない)に、 $x$ 座標と $y$ 座標がともに整数である点がちょうど1個ある。

$b$ を $a$ で表し、 $a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

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考え方

条件1はよく見るものですが、条件2はあまり見かけませんね。はじめは条件1だけを考えると、ある程度グラフの形が見えてきます。条件2はとりあえず後で考えましょう。

グラフの概形がわかったら、どういう状況があてはまるのか考えます。少し細かな評価が必要となります。

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