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東京大学 文系 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
座標平面上の2つの放物線
\begin{eqnarray} A: & \quad & y=x^2 \\ B: & \quad & y=-x^2+px+q \end{eqnarray}が点$(-1,1)$で接している。ここで、pqは実数である。さらにtを正の実数とし、放物線Bx軸の正の向きに$2t$、y軸の正の向きにtだけ平行移動して得られる放物線をCとする。

(1) pqの値を求めよ。
(2) 放物線ACが囲む領域の面積を$S(t)$とする。ただし、ACが領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める。$S(t)$を求めよ。
(3) $t\gt 0$における$S(t)$の最大値を求めよ。

【考え方】
(1)は接点がわかっているので、接点を通ることと接線の傾きが等しいことを使えば、式が2つ出てきます。

(2)は、まずは囲む領域が存在する範囲を調べます。その後、積分をしますが、公式を使って計算量を減らします。

(3)は(2)の答えをよく見れば、3/2乗の部分が最大のときを考えればよいということがわかるので、そこから計算します。(2)ができれば、すぐにたどり着けるはずです。


解答編

【問題】
座標平面上の2つの放物線
\begin{eqnarray} A: & \quad & y=x^2 \\ B: & \quad & y=-x^2+px+q \end{eqnarray}が点$(-1,1)$で接している。ここで、pqは実数である。さらにtを正の実数とし、放物線Bx軸の正の向きに$2t$、y軸の正の向きにtだけ平行移動して得られる放物線をCとする。

(1) pqの値を求めよ。
(2) 放物線ACが囲む領域の面積を$S(t)$とする。ただし、ACが領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める。$S(t)$を求めよ。
(3) $t\gt 0$における$S(t)$の最大値を求めよ。

【解答】
(1)
放物線Aの点$(-1,1)$での接線の傾きは$-2$なので、次の2つの式が成り立つ。
\begin{eqnarray} 1 &=& -(-1)^2+p(-1)+q \\ -2 &=& -2(-1)+p \end{eqnarray} 2つ目の式より、$p=-4$。これを1つ目の式に代入すると$q=-2$となる。

(2)
(1)より、放物線Bは、$y=-x^2-4x-2$となる。よって、C
\begin{eqnarray} y-t &=& -(x-2t)^2 -4(x-2t) -2 \\ y &=& -x^2 +4tx -4t^2 -4x+8t +t-2 \\ y &=& -x^2 +(4t-4)x -4t^2 +9t-2 \end{eqnarray}となる。

よって、ACの交点のx座標は、
\begin{eqnarray} x^2 = -x^2 +(4t-4)x -4t^2 +9t-2 \\ 2x^2 -(4t-4) +4t^2 -9t+2 = 0 \\ x^2 -(2t-2) +\frac{4t^2 -9t+2}{2} = 0 \quad \cdots (X) \end{eqnarray}の解となる。

この判別式をDとすると、
\begin{eqnarray} D &=& (2t-2)^2 - 4 \cdot \frac{4t^2 -9t+2}{2} \\ &=& 4t^2-8t+4 - 8t^2 +18t -4 \\ &=& -4t^2+10t \end{eqnarray}となる。

これが実数解を持つのは、判別式が0以上のときなので、そうなる条件は
\begin{eqnarray} -4t^2+10t & \geqq & 0 \\ t(2t-5) & \leqq & 0 \end{eqnarray}となる。ここで、tは正なので、$t \leqq \frac{5}{2}$となる。

$x^2+bx+c=0$の実数解を$\alpha,\beta(\beta \geqq \alpha)$とすると、この放物線とx軸で囲まれる部分の面積は\[ \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)dx = -\frac{1}{6} (\beta -\alpha)^3 \]であり、解の公式から\[ \beta -\alpha = \sqrt{b^2-4c}\]である。また、放物線Aは下に凸でCは上に凸なので、2つの放物線で囲まれる領域が存在するときは、その領域ではCが上にある。

以上のことから、(X)の解を$\alpha,\beta(\beta \geqq \alpha)$とすると、$t \leqq \frac{5}{2}$の範囲では、
\begin{eqnarray} S(t) &=& \int_{\alpha}^{\beta} \{ -x^2 +(4t-4)x -4t^2 +9t-2 -x^2 \} dx \\ &=& -2\int_{\alpha}^{\beta} (x-\alpha)(x-\beta)dx \\ &=& -\frac{-2}{6} ( \sqrt{D} ) ^ 3 \\ &=& \frac{1}{3} ( -4t^2+10t ) ^ \frac{3}{2} \end{eqnarray}となる。

よって、
\begin{eqnarray} S(t) = \begin{cases} \frac{1}{3} ( -4t^2+10t) ^ \frac{3}{2} & ( 0 \lt t \leqq \frac{5}{2} ) \\[5pt] 0 & ( t \gt \frac{5}{2} ) \end{cases} \end{eqnarray}

(3)
最大値を考えるので、$0 \lt t \leqq \frac{5}{2}$としてよい。

このとき、$\frac{1}{3} ( -4t^2+10t) ^ \frac{3}{2}$が最大になるときのtと$-4t^2+10t$が最大になるときのtは等しい。また、
\begin{eqnarray} -4t^2+10t &=& -4 \left(t-\frac{5}{4} \right)^2 +\frac{25}{4} \end{eqnarray}なので、$t=\frac{5}{4}$のときに最大値$\frac{25}{4}$をとる。これは、$0 \lt t \leqq \frac{5}{2}$を満たす。

よって、$S(t)$の最大値は
\begin{eqnarray} \frac{1}{3} \left( \frac{25}{4} \right) ^ \frac{3}{2} &=& \frac{1}{3} \left( \frac{5}{2} \right) ^ 3 &=& \frac{125}{24} \end{eqnarray}となる。

【解答終】

【解説】
(2)で面積を簡単に求める方法を知っていないと、計算量でパンクしてしまいます。それ以外の部分は、特段難しいところはありません。

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