東京大学 文系 2016年度 第3問 解説

問題編

【問題】
座標平面上の2つの放物線
\begin{eqnarray}
A: & \quad & y=x^2 \\
B: & \quad & y=-x^2+px+q
\end{eqnarray}が点$(-1,1)$で接している。ここで、pqは実数である。さらにtを正の実数とし、放物線Bx軸の正の向きに$2t$、y軸の正の向きにtだけ平行移動して得られる放物線をCとする。

(1) pqの値を求めよ。
(2) 放物線ACが囲む領域の面積を$S(t)$とする。ただし、ACが領域を囲まないときは$S(t)=0$と定める。$S(t)$を求めよ。
(3) $t\gt 0$における$S(t)$の最大値を求めよ。

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【考え方】
(1)は接点がわかっているので、接点を通ることと接線の傾きが等しいことを使えば、式が2つ出てきます。

(2)は、まずは囲む領域が存在する範囲を調べます。その後、積分をしますが、公式を使って計算量を減らします。

(3)は(2)の答えをよく見れば、3/2乗の部分が最大のときを考えればよいということがわかるので、そこから計算します。(2)ができれば、すぐにたどり着けるはずです。

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