東京大学 文系 2016年度 第4問 解説

問題編

【問題】
以下の問いに答えよ。ただし、(1)については、結論のみを書けばよい。
(1) nを正の整数とし、$3^n$を10で割った余りを$a_n$とする。$a_n$を求めよ。
(2) nを正の整数とし、$3^n$を4で割った余りを$b_n$とする。$b_n$を求めよ。
(3) 数列$\{x_n\}$を次のように定める。\[x_1=1、x_{n+1}=3^{x_n} \quad (n=1,2,3,\cdots)\]$x_{10}$を10で割った余りを求めよ。

【広告】
東大の過去問を扱った解説書は、ベストな解法を提示することに主眼が置かれたものが多いのですが、本書はそれらと一線を画します。
本書は、格好よく短くまとめた解答を提示するのではなく、

・受験生が「少し頑張れば自分にもできる」解法
・制限時間のあるプレッシャーの中でも実行可能な解法
・類似問題に出会ったときに同じように解くことができる解法
・部分点を稼ぎやすいアプローチによる解法
を採用しました。
著者:安田 亨
出版社:東京出版
発売日:2018-12-12
ページ数:468 ページ
値段:¥2,200
(2021年09月 時点の情報です)

【考え方】
(1)は書き出せばすぐに法則に気づきます。(2)も書き出せばすぐに答えはわかるでしょう。それを示すのに少しテクニックは要りますが、整数問題ではよく使う手法であり、難しくはありません。

(3)は(1)と(2)をよく見ればすぐにひらめくでしょう。見た目ほど怖くはなく、むしろサービス問題です。

1 2