東京大学 文系 2014年度 第4問 解説

問題編

問題

 r を $0$ 以上の整数とし、数列 $\{ a_n \}$ を次のように定める。\[ a_1=r, \quad a_2=r+1, \quad a_{n+2}=a_{n+1}(a_n+1) \quad (n=1,2,3,\cdots) \]また、素数 p を1つとり、 $a_n$ を p で割った余りを $b_n$ とする。ただし、 $0$ を p で割った余りは $0$ とする。

(1) 自然数 n に対し、 $b_{n+2}$ は $b_{n+1}(b_n+1)$ を p で割った余りと一致することを示せ。
(2) $r=2$, $p=17$ の場合に、 $10$ 以下のすべての自然数 n に対して、 $b_n$ を求めよ。
(3) ある2つの相異なる自然数 n, m に対して、\[ b_{n+1}=b_{m+1} \gt 0, \quad b_{n+2}=b_{m+2} \]が成り立ったとする。このとき、 $b_n=b_m$ が成り立つことを示せ。

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本書は、格好よく短くまとめた解答を提示するのではなく、

・受験生が「少し頑張れば自分にもできる」解法
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・類似問題に出会ったときに同じように解くことができる解法
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を採用しました。地道で確実な解法で、1点でも多く取ろうということです。どうアプローチしていくか、ということにも十分ページを割きました。
著者: 安田 亨
出版社: 東京出版
発売日: 2018/12/12
260ページ

考え方

この問題は、理系第5問(1)(2)(3)と同じ問題なので、解答は理系のページをご覧ください。