共通テスト 数学II・数学B 2023年度追試 第5問 解説
【第3問～第5問から2問選択】
問題編
問題
点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間において2点 $\mathrm{A, B}$ の座標を\[ \mathrm{A}(0,-3,5),\quad \mathrm{B}(2,0,4) \]とし、直線 $\mathrm{AB}$ と $xy$ 平面との交点を $\mathrm{C}$ とする。また、点 $\mathrm{D}$ の座標を\[ \mathrm{D}(7,4,5) \]とする。
直線 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{P}$ について、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を実数 $t$ を用いて\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}} \]と表すことにする。
(1) 点 $\mathrm{P}$ の座標は\[ \mathrm{P} \left( \myBox{ア}\ t,\ \myBox{イ}\ t-\myBox{ウ},\ -t+\myBox{エ} \right) \]と表すことができる。点 $\mathrm{C}$ の座標は\[ \mathrm{C} \left(\myBox{オカ},\ \myBox{キク},\ 0 \right) \]である。点 $\mathrm{C}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を\[ \myBox{ケ}\ : \ \myBox{コ} \]に外分する。ただし、 $\mybox{ケ}\ : \ \mybox{コ}$ は最も簡単な整数の比で答えよ。
(2) $\angle \mathrm{CPD}=120^{\circ}$ となるときの点 $\mathrm{P}$ の座標について考えよう。
$\angle \mathrm{CPD}=120^{\circ}$ のとき\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}=\dfrac{\myBox{サシ}}{\myBox{ス}} |\overrightarrow{\mathrm{PC}}|\ |\overrightarrow{\mathrm{PD}}| \quad \cdots ① \]が成り立つ。ここで、 $\overrightarrow{\mathrm{PC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ が平行であることから、 $0$ でない実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と表すことができるので、①は\[ k \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}} =\dfrac{\mybox{サシ}}{\mybox{ス}} |k \overrightarrow{\mathrm{AB}}| \ |\overrightarrow{\mathrm{PD}}| \quad \cdots ② \]と表すことができる。
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}$ と $|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|^2$ は、それぞれ
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}} = -7\left(\myBox{セ}\ t-\myBox{ソ}\right) \\[5pt] & & |\overrightarrow{\mathrm{PD}}|^2 = 14\left(t^2-\myBox{タ}\ t+\myBox{チ}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}と表される。したがって、②の両辺の2乗が等しくなるのは\[ t=\myBox{ツ},\ \myBox{テ} \]のときである。ただし、 $\mybox{ツ}\lt \mybox{テ}$ とする。$t=\mybox{ツ},\ \mybox{テ}$ のときの $\angle \mathrm{CPD}$ をそれぞれ調べることで、 $\angle \mathrm{CPD}=120^{\circ}$ となる点 $\mathrm{P}$ の座標は\[ \mathrm{P} \left(\myBox{ト}, \ \myBox{ナ}, \ \myBox{ニ} \right) \]であることがわかる。
(3) 直線 $\mathrm{AB}$ から点 $\mathrm{A}$ を除いた部分を点 $\mathrm{P}$ が動くとき、直線 $\mathrm{DP}$ は $xy$ 平面と交わる。この交点を $\mathrm{Q}$ とするとき、点 $\mathrm{Q}$ が描く図形について考えよう。
点 $\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{DP}$ 上にあることから、 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ は実数 $s$ を用いて\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s\overrightarrow{\mathrm{DP}} \]と表すことができる。さらに、点 $\mathrm{Q}$ が $xy$ 平面上にあることから、 $s$ は $t$ を用いて表すことができる。よって、 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ は $t$ を用いて\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(\myBox{ヌネ},\ \myBox{ノハ},\ 0 \right) -\dfrac{\myBox{ヒフ}}{t}\ (1,1,0) \]と表すことができる。
したがって、点 $\mathrm{Q}$ はある直線上を動くことがわかる。さらに、 $t$ が $0$ 以外の実数値を変化するとき $\dfrac{1}{t}$ は $0$ 以外のすべての実数値をとることに注意すると、点 $\mathrm{Q}$ が描く図形は直線から1点を除いたものであることがわかる。この除かれた点を $\mathrm{R}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$ は $\dBox{ヘ}$ と平行である。
$\dbox{ヘ}$ の解答群
0: $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$
1: $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$
2: $\overrightarrow{\mathrm{OC}}$
3: $\overrightarrow{\mathrm{OD}}$
4: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$
5: $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$
6: $\overrightarrow{\mathrm{BD}}$
7: $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$
考え方
空間図形で図がかきづらいですが、計算だけで解くことができます。ただ、途中はうまく計算をしないと、計算量が多くなってしまう箇所もあります。
最後は、 $\mathrm{R}$ がどんな点を表しているかわかりづらいかもしれませんが、問題文に一応ヒントは書かれています。
解答編
問題
点 $\mathrm{O}$ を原点とする座標空間において2点 $\mathrm{A, B}$ の座標を\[ \mathrm{A}(0,-3,5),\quad \mathrm{B}(2,0,4) \]とし、直線 $\mathrm{AB}$ と $xy$ 平面との交点を $\mathrm{C}$ とする。また、点 $\mathrm{D}$ の座標を\[ \mathrm{D}(7,4,5) \]とする。
直線 $\mathrm{AB}$ 上の点 $\mathrm{P}$ について、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を実数 $t$ を用いて\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}} \]と表すことにする。
(1) 点 $\mathrm{P}$ の座標は\[ \mathrm{P} \left( \myBox{ア}\ t,\ \myBox{イ}\ t-\myBox{ウ},\ -t+\myBox{エ} \right) \]と表すことができる。点 $\mathrm{C}$ の座標は\[ \mathrm{C} \left(\myBox{オカ},\ \myBox{キク},\ 0 \right) \]である。点 $\mathrm{C}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を\[ \myBox{ケ}\ : \ \myBox{コ} \]に外分する。ただし、 $\mybox{ケ}\ : \ \mybox{コ}$ は最も簡単な整数の比で答えよ。
解説
(1)
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}}
&=&
\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OA}} \\[5pt]
&=&
(2,0,4)-(0,-3,5) \\[5pt]
&=&
(2,3,-1)
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t \overrightarrow{\mathrm{AB}}
&=&
(0,-3,5)+t(2,3,-1) \\[5pt]
&=&
(2t,3t-3,-t+5)
\end{eqnarray}なので、点 $\mathrm{P}$ の座標は\[ (2t,3t-3,-t+5) \]となります。
点 $\mathrm{C}$ は、直線 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ 上の点なので、上のように、 $(2t,3t-3,-t+5)$ と表すことができます。さらに、 $xy$ 平面上の点でもあるので、 $z$ 座標は $0$ だから、 $t=5$ となります。なので、$\mathrm{C}$ の座標は\[ (10,12,0) \]となります。
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}}+5\overrightarrow{\mathrm{AB}} \\[5pt] &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}}+5\overrightarrow{\mathrm{OB}}-5\overrightarrow{\mathrm{OA}} \\[5pt] &=& -4\overrightarrow{\mathrm{OA}}+5\overrightarrow{\mathrm{OB}} \\[5pt] \end{eqnarray}なので、点 $\mathrm{C}$ は線分 $\mathrm{AB}$ を $5:4$ に外分する点だとわかります。解答
アイウエ：2335 (2点)
オカキク：1012 (1点)
ケコ：54 (2点)
解答編 つづき
問題
(2) $\angle \mathrm{CPD}=120^{\circ}$ となるときの点 $\mathrm{P}$ の座標について考えよう。
$\angle \mathrm{CPD}=120^{\circ}$ のとき\[ \overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}=\dfrac{\myBox{サシ}}{\myBox{ス}} |\overrightarrow{\mathrm{PC}}|\ |\overrightarrow{\mathrm{PD}}| \quad \cdots ① \]が成り立つ。ここで、 $\overrightarrow{\mathrm{PC}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ が平行であることから、 $0$ でない実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\mathrm{PC}}=k \overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と表すことができるので、①は\[ k \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}} =\dfrac{\mybox{サシ}}{\mybox{ス}} |k \overrightarrow{\mathrm{AB}}| \ |\overrightarrow{\mathrm{PD}}| \quad \cdots ② \]と表すことができる。
$\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}$ と $|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|^2$ は、それぞれ
\begin{eqnarray} & & \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}} = -7\left(\myBox{セ}\ t-\myBox{ソ}\right) \\[5pt] & & |\overrightarrow{\mathrm{PD}}|^2 = 14\left(t^2-\myBox{タ}\ t+\myBox{チ}\right) \\[5pt] \end{eqnarray}と表される。したがって、②の両辺の2乗が等しくなるのは\[ t=\myBox{ツ},\ \myBox{テ} \]のときである。ただし、 $\mybox{ツ}\lt \mybox{テ}$ とする。$t=\mybox{ツ},\ \mybox{テ}$ のときの $\angle \mathrm{CPD}$ をそれぞれ調べることで、 $\angle \mathrm{CPD}=120^{\circ}$ となる点 $\mathrm{P}$ の座標は\[ \mathrm{P} \left(\myBox{ト}, \ \myBox{ナ}, \ \myBox{ニ} \right) \]であることがわかる。
解説
(2)
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}
&=&
|\overrightarrow{\mathrm{PC}}| |\overrightarrow{\mathrm{PD}}| \cos \angle \mathrm{CPD} \\[5pt]
&=&
|\overrightarrow{\mathrm{PC}}| |\overrightarrow{\mathrm{PD}}| \cos 120^{\circ} \\[5pt]
&=&
\frac{-1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{PC}}| |\overrightarrow{\mathrm{PD}}|
\end{eqnarray}となります。
ここで、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PD}}
&=&
\overrightarrow{\mathrm{OD}}-\overrightarrow{\mathrm{OP}} \\[5pt]
&=&
(7,4,5)-(2t,3t-3,-t+5) \\[5pt]
&=&
(-2t+7,-3t+7,t)
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
& &
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}} \\[5pt]
&=&
(2,3,-1) \cdot (-2t+7,-3t+7,t) \\[5pt]
&=&
2(-2t+7)+3(-3t+7)-t \\[5pt]
&=&
-4t+14-9t+21-t \\[5pt]
&=&
-14t+35 \\[5pt]
&=&
-7(2t-5) \\[5pt]
\end{eqnarray}であり、
\begin{eqnarray}
& &
|\overrightarrow{\mathrm{PD}}|^2 \\[5pt]
&=&
(-2t+7,-3t+7,t) \cdot (-2t+7,-3t+7,t) \\[5pt]
&=&
(-2t+7)^2+(-3t+7)^2+t^2 \\[5pt]
&=&
4t^2-28t+49 +9t^2-42t+49 +t^2 \\[5pt]
&=&
14t^2-70t+98 \\[5pt]
&=&
14(t^2-5t+7) \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。また、\[ |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2=2^2+3^2+(-1)^2=14 \]です。
これらを、②の両辺の2乗したものに代入すると
\begin{eqnarray}
(k \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}})^2 &=& \left(-\frac{1}{2}\right)^2 |k \overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 |\overrightarrow{\mathrm{PD}}|^2 \\[5pt]
k^2 (\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}})^2 &=& \frac{k^2}{4} |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 |\overrightarrow{\mathrm{PD}}|^2 \\[5pt]
4 (\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}})^2 &=& |\overrightarrow{\mathrm{AB}}|^2 |\overrightarrow{\mathrm{PD}}|^2 \\[5pt]
4 \cdot 7^2 (2t-5)^2 &=& 14 \cdot 14(t^2-5t+7) \\[5pt]
(2t-5)^2 &=& t^2-5t+7 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります（2行目から3行目で $k$ で割っていますが、ここで、 $k\ne 0$ を使っています）。さらに変形して
\begin{eqnarray}
(2t-5)^2 -(t^2-5t+7) &=& 0 \\[5pt]
4t^2-20t+25 -t^2+5t-7 &=& 0 \\[5pt]
3t^2-15t+18&=& 0 \\[5pt]
t^2-5t+6&=& 0 \\[5pt]
(t-2)(t-3)&=& 0 \\[5pt]
\end{eqnarray}だから、\[ t=2,3 \]と求められます。
$\mathrm{C}(10,12,0)$ と $\mathrm{D}(7,4,5)$ と $\mathrm{P}(2t,3t-3,-t+5)$ を使って、 $\angle \mathrm{CPD}$ を考えます。
$t=2$ のときは、 $\mathrm{P}(4,3,3)$ となるので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PC}} &=& (10,12,0)-(4,3,3)=(6,9,-3) \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{PD}} &=& (7,4,5)-(4,3,3)=(3,1,2) \\[5pt]
\end{eqnarray}だから
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}
&=&
6\cdot 3+9\cdot 1+(-3)\cdot 2 \\[5pt]
&=&
21 \\[5pt]
\end{eqnarray}で正なので、この場合は $\angle \mathrm{CPD}$ は鋭角だから不適だとわかります。
消去法的に、 $t=3$ だとわかるのですが、一応確認しておきます。
$t=3$ のときは、 $\mathrm{P}(6,6,2)$ なので
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PC}} &=& (10,12,0)-(6,6,2)=(4,6,-2) \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{PD}} &=& (7,4,5)-(6,6,2)=(1,-2,3) \\[5pt]
\end{eqnarray}だから
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}
&=&
4\cdot 1+6\cdot (-2)+(-2)\cdot 3 \\[5pt]
&=&
4-12-6=-14 \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。また
\begin{eqnarray}
\mathrm{PC}^2 &=& 4^2+6^2+(-2)^2=56 \\[5pt]
\mathrm{PD}^2 &=& 1^2+(-2)^2+3^2=14 \\[5pt]
\end{eqnarray}なので
\begin{eqnarray}
\cos\angle \mathrm{CPD}
&=&
\frac{\overrightarrow{\mathrm{PC}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}}{|\overrightarrow{\mathrm{PC}}||\overrightarrow{\mathrm{PD}}|} \\[5pt]
&=&
\frac{-14}{\sqrt{56}\cdot\sqrt{14}} \\[5pt]
&=&
-\frac{1}{2}
\end{eqnarray}なので、たしかに $\angle \mathrm{CPD}=120^{\circ}$ だとわかります。
よって、 $t=3$ であり、点 $\mathrm{P}$ の座標は\[ (6,6,2) \]だとわかります。
解答
サシス：-12 (2点)
セソ：25 (2点)
タチ：57 (2点)
ツテ：23 (2点)
トナニ：662 (2点)
解答編 つづき
問題
(3) 直線 $\mathrm{AB}$ から点 $\mathrm{A}$ を除いた部分を点 $\mathrm{P}$ が動くとき、直線 $\mathrm{DP}$ は $xy$ 平面と交わる。この交点を $\mathrm{Q}$ とするとき、点 $\mathrm{Q}$ が描く図形について考えよう。
点 $\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{DP}$ 上にあることから、 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ は実数 $s$ を用いて\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s\overrightarrow{\mathrm{DP}} \]と表すことができる。さらに、点 $\mathrm{Q}$ が $xy$ 平面上にあることから、 $s$ は $t$ を用いて表すことができる。よって、 $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ は $t$ を用いて\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\left(\myBox{ヌネ},\ \myBox{ノハ},\ 0 \right) -\dfrac{\myBox{ヒフ}}{t}\ (1,1,0) \]と表すことができる。
解説
(3)
$\mathrm{A}(0,-3,5)$, $\mathrm{D}(7,4,5)$ なので、 $z$ 座標が同じだから、直線 $\mathrm{AP}$ は $xy$ 平面と平行です。一方、 $\mathrm{B}(2,0,4)$ で、 $z$ 座標が異なるので、点 $\mathrm{P}$ が、直線 $\mathrm{AB}$ から点 $\mathrm{A}$ を除いた部分を動くとき、直線 $\mathrm{DP}$ は必ず $xy$ 平面と交わります。
ちなみに、 $\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ とおいているので、点 $\mathrm{P}$ が $\mathrm{A}$ 以外の部分を動くとは、 $t$ が $0$ 以外の値をとる、ということです。
さて、問題文にある通り、\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s \overrightarrow{\mathrm{DP}} \]とおくとしましょう。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& (7,4,5) \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{DP}}
&=& \overrightarrow{\mathrm{OP}}-\overrightarrow{\mathrm{OD}} \\[5pt]
&=& (2t,3t-3,-t+5)-(7,4,5) \\[5pt]
&=& (2t-7,3t-7,-t) \\[5pt]
\end{eqnarray}となるので、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
&=&
\overrightarrow{\mathrm{OD}}+s \overrightarrow{\mathrm{DP}} \\[5pt]
&=&
(7,4,5)+s(2t-7,3t-7,-t) \\[5pt]
&=&
(2st-7s+7, 3st-7s+4,-st+5)
\end{eqnarray}と表すことができます。ここで、点 $\mathrm{Q}$ は $xy$ 平面上の点だから $z$ 座標は $0$ です。よって、 $-st+5=0$ が成り立ちます。 $t\ne 0$ なので、\[ s=\frac{5}{t} \]が成り立ちます。これを上の式に代入すると
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OQ}}
&=&
(2st-7s+7, 3st-7s+4,-st+5) \\[5pt]
&=&
\left(2\cdot 5-7\cdot\frac{5}{t}+7, 3\cdot 5-7\cdot\frac{5}{t}+4,-5+5\right) \\[5pt]
&=&
\left(17-\frac{35}{t}, 19-\frac{35}{t},0\right) \\[5pt]
&=&
(17,19,0)-\dfrac{35}{t}(1,1,0)
\end{eqnarray}と表せることがわかります。
解答
ヌネノハヒフ：171935 (3点)
解答編 つづき
問題
したがって、点 $\mathrm{Q}$ はある直線上を動くことがわかる。さらに、 $t$ が $0$ 以外の実数値を変化するとき $\dfrac{1}{t}$ は $0$ 以外のすべての実数値をとることに注意すると、点 $\mathrm{Q}$ が描く図形は直線から1点を除いたものであることがわかる。この除かれた点を $\mathrm{R}$ とするとき、$\overrightarrow{\mathrm{DR}}$ は $\dBox{ヘ}$ と平行である。
解説
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=(17,19,0)-\dfrac{35}{t}(1,1,0) \]であり、 $t$ が $0$ 以外の実数値をとりながら動くと、$\mathrm{Q}$ は、点 $(17,19,0)$ を通り、成分が $(1,1,0)$ のベクトルに平行な直線を動くことがわかります。ただし、この直線の $(17,19,0)$ だけは通りません。 $\dfrac{1}{t}$ が $0$ になることはないからです。なので、 $\mathrm{R}$ の座標は $(17,19,0)$ だとわかります。
\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{DR}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OR}} -\overrightarrow{\mathrm{OD}} \\[5pt] &=& (17,19,0)-(7,4,5) \\[5pt] &=& (10,15,-5) \\[5pt] &=& 5(2,3,-1) \\[5pt] &=& 5 \overrightarrow{\mathrm{AB}} \end{eqnarray}なので、 $\overrightarrow{\mathrm{DR}}$ は $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ と平行であることがわかります。解答
ヘ：4 (2点)
