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共通テスト 数学II・数学B 2023年度追試 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

(常用対数表は省略しています)

問題編

問題

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて38、39ページの常用対数表を用いてもよい。

 花子さんは、あるスポーツドリンク(以下、商品S)の売上本数が気温にどう影響されるかを知りたいと考えた。そこで、地区Aについて調べたところ、最高気温が22℃、25℃、28℃であった日の商品Sの売上本数をそれぞれ $N_1$, $N_2$, $N_3$ とするとき\[ N_1=285,\ N_2=368,\ N_3=475 \]であった。このとき\[ \frac{N_2-N_1}{25-22} \lt \frac{N_3-N_2}{28-25} \]であり、座標平面上の3点 $(22,N_1)$, $(25,N_2)$, $(28,N_3)$ は一つの直線上にはないので、花子さんは $N_1$, $N_2$, $N_3$ の対数を考えてみることにした。

(1) 常用対数表によると、 $\log_{10}2.85=0.4548$ であるので
\begin{eqnarray} \log_{10} N_1 &=& \log_{10} 285 \\[5pt] &=& 0.4548+\myBox{ネ} \\[5pt] &=& \mybox{ネ}.4548 \end{eqnarray}である。この値の小数第4位を四捨五入したものを $p_1$ とすると\[ p_1=\mybox{ネ}.455 \]である。同じように、 $\log_{10}N_2$ の値の小数第4位を四捨五入したものを $p_2$ とすると\[ p_2=\myBox{ノ}.\myBox{ハヒフ} \]である。

 さらに、 $\log_{10}N_3$ の値の小数第4位を四捨五入したものを $p_3$ とすると\[ \frac{p_2-p_1}{25-22} = \frac{p_3-p_2}{28-25} \]が成り立つことが確かめられる。したがって\[ \frac{p_2-p_1}{25-22} = \frac{p_3-p_2}{28-25} = k \]とおくとき、座標平面上の3点 $(22,p_1)$, $(25,p_2)$, $(28,p_3)$ は次の方程式が表す直線上にある。\[ y=k(x-22)+p_1 \quad\cdots ① \]

 いま、 $N$ を正の実数とし、座標平面上の点 $(x,\log_{10}N)$ が①の直線上にあるとする。このとき、 $x$ と $N$ の関係式として、次の 0 ~ 3 のうち、正しいものは $\dBox{ヘ}$ である。

$\dbox{ヘ}$ の解答群

 0: $N=10k(x-22)+p_1$
 1: $N=10\{k(x-22)+p_1\}$
 2: $N=10^{k(x-22)+p_1}$
 3: $N=p_1\cdot 10^{k(x-22)}$

(2) 花子さんは、地区Aで最高気温が32℃になる日の商品Sの売上本数を予想することにした。 $x=32$ のときに関係式 $\dbox{ヘ}$ を満たす $N$ の値は $\dBox{ホ}$ の範囲にある。そこで、花子さんは売上本数が $\dbox{ホ}$ の範囲に入るだろうと考えた。

$\dbox{ホ}$ の解答群

 0: 440以上 450未満
 1: 450以上 460未満
 2: 460以上 470未満
 3: 470以上 480未満
 4: 650以上 660未満
 5: 660以上 670未満
 6: 670以上 680未満
 7: 680以上 690未満
 8: 890以上 900未満
 9: 900以上 910未満
 a: 910以上 920未満
 b: 920以上 930未満

考え方

対数の問題で、常用対数表を使います。気温がそれほど高くない場合をもとに、気温が高い場合を予測する、という話で、流れ自体はそれほどむずかしくありません。見た目は難しそうなことをしてますが、よく見ると基本的な対数の計算をしているだけです。

常用対数表の見方がわからないと解けないので、見方がわからない人は確認しておきましょう。


【必答問題】

(常用対数表は省略しています)

解答編

問題

 以下の問題を解答するにあたっては、必要に応じて38、39ページの常用対数表を用いてもよい。

 花子さんは、あるスポーツドリンク(以下、商品S)の売上本数が気温にどう影響されるかを知りたいと考えた。そこで、地区Aについて調べたところ、最高気温が22℃、25℃、28℃であった日の商品Sの売上本数をそれぞれ $N_1$, $N_2$, $N_3$ とするとき\[ N_1=285,\ N_2=368,\ N_3=475 \]であった。このとき\[ \frac{N_2-N_1}{25-22} \lt \frac{N_3-N_2}{28-25} \]であり、座標平面上の3点 $(22,N_1)$, $(25,N_2)$, $(28,N_3)$ は一つの直線上にはないので、花子さんは $N_1$, $N_2$, $N_3$ の対数を考えてみることにした。

(1) 常用対数表によると、 $\log_{10}2.85=0.4548$ であるので
\begin{eqnarray} \log_{10} N_1 &=& \log_{10} 285 \\[5pt] &=& 0.4548+\myBox{ネ} \\[5pt] &=& \mybox{ネ}.4548 \end{eqnarray}である。この値の小数第4位を四捨五入したものを $p_1$ とすると\[ p_1=\mybox{ネ}.455 \]である。同じように、 $\log_{10}N_2$ の値の小数第4位を四捨五入したものを $p_2$ とすると\[ p_2=\myBox{ノ}.\myBox{ハヒフ} \]である。

解説

(1)
\begin{eqnarray} \log_{10} N_1 &=& \log_{10} 285 \\[5pt] &=& \log_{10} 100\cdot 2.85 \\[5pt] &=& \log_{10} 100+\log_{10} 2.85 \\[5pt] &=& 2+0.4548 =2.4548 \end{eqnarray}となります。また、常用対数表より、 $\log_{10}3.68=0.5658$ なので \begin{eqnarray} \log_{10} N_2 &=& \log_{10} 368 \\[5pt] &=& 2+0.5658 =2.5658 \end{eqnarray}だから、 $p_2=2.566$ となります。

解答

ネ:2 (3点)
ノハヒフ:2566 (3点)

解答編 つづき

問題

 さらに、 $\log_{10}N_3$ の値の小数第4位を四捨五入したものを $p_3$ とすると\[ \frac{p_2-p_1}{25-22} = \frac{p_3-p_2}{28-25} \]が成り立つことが確かめられる。したがって\[ \frac{p_2-p_1}{25-22} = \frac{p_3-p_2}{28-25} = k \]とおくとき、座標平面上の3点 $(22,p_1)$, $(25,p_2)$, $(28,p_3)$ は次の方程式が表す直線上にある。\[ y=k(x-22)+p_1 \quad\cdots ① \]

 いま、 $N$ を正の実数とし、座標平面上の点 $(x,\log_{10}N)$ が①の直線上にあるとする。このとき、 $x$ と $N$ の関係式として、次の 0 ~ 3 のうち、正しいものは $\dBox{ヘ}$ である。

$\dbox{ヘ}$ の解答群

 0: $N=10k(x-22)+p_1$
 1: $N=10\{k(x-22)+p_1\}$
 2: $N=10^{k(x-22)+p_1}$
 3: $N=p_1\cdot 10^{k(x-22)}$

解説

常用対数表より $\log_{10}4.75=0.6767$ なので
\begin{eqnarray} \log_{10} N_3 &=& \log_{10} 475 \\[5pt] &=& 2+0.6767 =2.6767 \end{eqnarray}だから、 $p_3=2.677$ となります。

なので、 $p_2-p_1=2.677-2.566=0.111$, $p_3-p_2=2.677-2.566=0.111$ だから、たしかに、\[ \frac{p_2-p_1}{25-22} = \frac{p_3-p_2}{28-25}=0.037 \]が成り立つことがわかります。よって、問題文中の $k$ は $0.037$ です。

$(x,\log_{10}N)$ が $y=k(x-22)+p_1$ 上にあるとすると
\begin{eqnarray} \log_{10}N &=& k(x-22)+p_1 \\[5pt] N &=& 10^{k(x-22)+p_1} \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立ちます。

解答

ヘ:2 (4点)

解答編 つづき

問題

(2) 花子さんは、地区Aで最高気温が32℃になる日の商品Sの売上本数を予想することにした。 $x=32$ のときに関係式 $\dbox{ヘ}$ を満たす $N$ の値は $\dBox{ホ}$ の範囲にある。そこで、花子さんは売上本数が $\dbox{ホ}$ の範囲に入るだろうと考えた。

$\dbox{ホ}$ の解答群

 0: 440以上 450未満
 1: 450以上 460未満
 2: 460以上 470未満
 3: 470以上 480未満
 4: 650以上 660未満
 5: 660以上 670未満
 6: 670以上 680未満
 7: 680以上 690未満
 8: 890以上 900未満
 9: 900以上 910未満
 a: 910以上 920未満
 b: 920以上 930未満

解説

(2)
$x=32$ を $N = 10^{k(x-22)+p_1}$ に代入することは、 $\log_{10} N = k(x-22)+p_1$ に代入することと同じなので、後者に $x=32$ を代入すると
\begin{eqnarray} \log_{10} N &=& k(32-22)+p_1 \\[5pt] &=& 10k+p_1 \\[5pt] &=& 10\cdot 0.037+2.455 \\[5pt] &=& 2.825 \\[5pt] &=& 2 + 0.825 \\[5pt] &=& \log_{10} 100 + 0.825 \\[5pt] \end{eqnarray}となります。常用対数表から、 $\log_{10}a$ が $0.825$ となるような $a$ は、$6.68$ から $6.69$ の間だとわかるので、 $668 \lt N \lt 669$ とわかります。なので、選択肢の中では、 $660$以上 $670$未満が適切だとわかります。

解答

ホ:5 (4点)

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