共通テスト 数学II・数学B 2023年度 第5問 解説
【第3問～第5問から2問選択】
問題編
問題
三角錐 $\mathrm{PABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とおく。また、 $\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{PAC}$ とし、この角度を $\theta$ とおく。ただし、 $0^{\circ}\lt \theta\lt 90^{\circ}$ とする。
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ は\[ \overrightarrow{\mathrm{AM}} =\frac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \]と表せる。また\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} }{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AB}}| } = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} }{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}| } = \dBox{オ} \quad \cdots ① \]である。
$\dbox{オ}$ の解答群
0: $\sin\theta$
1: $\cos\theta$
2: $\tan\theta$3: $\dfrac{1}{\sin\theta}$
4: $\dfrac{1}{\cos\theta}$
5: $\dfrac{1}{\tan\theta}$6: $\sin\angle\mathrm{BPC}$
7: $\cos\angle\mathrm{BPC}$
8: $\tan\angle\mathrm{BPC}$(2) $\theta=45^{\circ}$ とし、さらに
\begin{eqnarray} |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| &=& 3\sqrt{2} \ , \\[5pt] |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| &=& |\overrightarrow{\mathrm{PB}}| = 3 \ , \\[5pt] |\overrightarrow{\mathrm{AC}}| &=& |\overrightarrow{\mathrm{PC}}| = 3 \end{eqnarray}が成り立つ場合を考える。このとき\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} =\myBox{カ} \]である。さらに、直線 $\mathrm{AM}$ 上の点 $\mathrm{D}$ が $\angle \mathrm{APD}=90^{\circ}$ を満たしているとする。このとき、 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\myBox{キ} \overrightarrow{\mathrm{AM}}$ である。(3) \[ \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\mybox{キ} \overrightarrow{\mathrm{AM}} \]で定まる点を $\mathrm{Q}$ とおく。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直である三角錐 $\mathrm{PABC}$ はどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{D}$ と一致し、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ は垂直である。
(i) $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であるとき、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を用いて表して考えると、 $\dBox{ク}$ が成り立つ。さらに①に注意すると、 $\dbox{ク}$ から $\dBox{ケ}$ が成り立つことがわかる。
したがって、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であれば、 $\dbox{ケ}$ が成り立つ。逆に、 $\dbox{ケ}$ が成り立てば、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ は垂直である。
$\dbox{ク}$ の解答群
0: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
1: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = -\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
2: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
3: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = -\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
4: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 0$
5: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} - \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 0$
$\dbox{ケ}$ の解答群
0: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| = \sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$
1: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| = 2|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$
2: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\sin\theta+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\sin\theta = |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$
3: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta +|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\theta = |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$
4: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\sin\theta=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\sin\theta = 2|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$
5: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta =|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\theta = 2|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$
(ii) $k$ を正の実数とし\[ k \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]が成り立つとする。このとき、 $\dBox{コ}$ が成り立つ。
また、点 $\mathrm{B}$ から直線 $\mathrm{AP}$ に下した垂線と直線 $\mathrm{AP}$ との交点を $\mathrm{B'}$ とし、同様に点 $\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{AP}$ に下した垂線と直線 $\mathrm{AP}$ との交点を $\mathrm{C'}$ とする。
このとき、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であることは、 $\dBox{サ}$ であることと同値である。特に $k=1$ のとき、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であることは、 $\dBox{シ}$ であることと同値である。
$\dbox{コ}$ の解答群
0: $k |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$
1: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = k|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$
2: $k |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = \sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
3: $k |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = \sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$
$\dbox{サ}$ の解答群
0: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ がともに線分 $\mathrm{AP}$ の中点
1: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ が線分 $\mathrm{AP}$ をそれぞれ $(k+1):1$ と $1:(k+1)$ に内分する点
2: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ が線分 $\mathrm{AP}$ をそれぞれ $1:(k+1)$ と $(k+1):1$ に内分する点
3: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ が線分 $\mathrm{AP}$ をそれぞれ $k:1$ と $1:k$ に内分する点
4: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ が線分 $\mathrm{AP}$ をそれぞれ $1:k$ と $k:1$ に内分する点
5: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ がともに線分 $\mathrm{AP}$ を $k:1$ に内分する点
6: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ がともに線分 $\mathrm{AP}$ を $1:k$ に内分する点
$\dbox{シ}$ の解答群
0: $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ がともに正三角形
1: $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ がそれぞれ $\angle \mathrm{PBA}=90^{\circ}$, $\angle \mathrm{PCA}=90^{\circ}$ を満たす直角二等辺三角形
2: $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ がそれぞれ $\mathrm{BP=BA}$, $\mathrm{CP=CA}$ を満たす二等辺三角形
3: $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ が合同
4: $\mathrm{AP=BC}$
考え方
どの条件が前提となっているか、よく考えながら進めていきましょう。(2)の前提は(3)では使えないことに注意しましょう。
(3)(ii)は計算だけではなく、図をかいて考えるようにしましょう。
解答編
問題
三角錐 $\mathrm{PABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とおく。また、 $\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{PAC}$ とし、この角度を $\theta$ とおく。ただし、 $0^{\circ}\lt \theta\lt 90^{\circ}$ とする。
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AM}}$ は\[ \overrightarrow{\mathrm{AM}} =\frac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\myBox{ウ}}{\myBox{エ}}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \]と表せる。また\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} }{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AB}}| } = \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} }{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}| } = \dBox{オ} \quad \cdots ① \]である。
$\dbox{オ}$ の解答群
0: $\sin\theta$
1: $\cos\theta$
2: $\tan\theta$3: $\dfrac{1}{\sin\theta}$
4: $\dfrac{1}{\cos\theta}$
5: $\dfrac{1}{\tan\theta}$6: $\sin\angle\mathrm{BPC}$
7: $\cos\angle\mathrm{BPC}$
8: $\tan\angle\mathrm{BPC}$
解説
(1)
$\mathrm{M}$ は辺 $\mathrm{BC}$ の中点なので、\[ \overrightarrow{\mathrm{AM}} = \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}} \]となります。
また、 $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \cos\angle \mathrm{PAB}$ なので、\[ \frac{\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}}{|\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AB}}|}=\cos\theta \]となります。 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ についても同様です。
解答
アイウエ：1212 (2点)
オ：1 (2点)
解答編 つづき
問題
(2) $\theta=45^{\circ}$ とし、さらに
\begin{eqnarray} |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| &=& 3\sqrt{2} \ , \\[5pt] |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| &=& |\overrightarrow{\mathrm{PB}}| = 3 \ , \\[5pt] |\overrightarrow{\mathrm{AC}}| &=& |\overrightarrow{\mathrm{PC}}| = 3 \end{eqnarray}が成り立つ場合を考える。このとき\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} =\myBox{カ} \]である。さらに、直線 $\mathrm{AM}$ 上の点 $\mathrm{D}$ が $\angle \mathrm{APD}=90^{\circ}$ を満たしているとする。このとき、 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\myBox{キ} \overrightarrow{\mathrm{AM}}$ である。
解説
(2)
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}
&=&
|\overrightarrow{\mathrm{AP}}| |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| \cos\theta \\[5pt]
&=&
3\sqrt{2} \cdot 3\cdot \cos45^{\circ} \\[5pt]
&=&
9
\end{eqnarray}となります。 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ も同様です。
また、 $\overrightarrow{\mathrm{AD}}=d \overrightarrow{\mathrm{AM}}$ とします。 $\angle \mathrm{APD}=90^{\circ}$ なので、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{PD}}=0$ となることから
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{PA}} + \overrightarrow{\mathrm{AD}}) &=& 0 \\[5pt]
|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2+d\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AM}} &=& 0 \\[5pt]
18 -d\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \frac{\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{2} &=& 0 \\[5pt]
18 -d\cdot\frac{9+9}{2} &=& 0 \\[5pt]
d&=&2
\end{eqnarray}となります。
解答
カ：9 (2点)
キ：2 (3点)
解答編 つづき
問題
(3) \[ \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\mybox{キ} \overrightarrow{\mathrm{AM}} \]で定まる点を $\mathrm{Q}$ とおく。 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直である三角錐 $\mathrm{PABC}$ はどのようなものかについて考えよう。例えば(2)の場合では、点 $\mathrm{Q}$ は点 $\mathrm{D}$ と一致し、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ は垂直である。
(i) $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であるとき、 $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}$, $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$ を用いて表して考えると、 $\dBox{ク}$ が成り立つ。さらに①に注意すると、 $\dbox{ク}$ から $\dBox{ケ}$ が成り立つことがわかる。
したがって、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であれば、 $\dbox{ケ}$ が成り立つ。逆に、 $\dbox{ケ}$ が成り立てば、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ は垂直である。
$\dbox{ク}$ の解答群
0: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
1: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = -\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}$
2: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
3: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = -\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}$
4: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} + \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 0$
5: $\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}} - \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}} = 0$
$\dbox{ケ}$ の解答群
0: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| = \sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$
1: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}| = 2|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|$
2: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\sin\theta+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\sin\theta = |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$
3: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta +|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\theta = |\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$
4: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\sin\theta=|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\sin\theta = 2|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$
5: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta =|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\theta = 2|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|$
解説
(3)(i)
$\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直のとき、内積が $0$ なので
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}} &=& 0 \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{PA}} +\overrightarrow{\mathrm{AQ}} ) &=& 0 \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{PA}} +2\overrightarrow{\mathrm{AM}} ) &=& 0 \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{PA}} \cdot (\overrightarrow{\mathrm{PA}} +\overrightarrow{\mathrm{AB}} +\overrightarrow{\mathrm{AC}} ) &=& 0 \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot (-\overrightarrow{\mathrm{AP}} +\overrightarrow{\mathrm{AB}} +\overrightarrow{\mathrm{AC}} ) &=& 0 \\[5pt]
\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}
+\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}
&=&
\overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
さらに、内積をベクトルの大きさとなす角で表すと
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta
+|\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\theta
&=&
|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|^2 \\[5pt]
|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta
+|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\theta
&=&
|\overrightarrow{\mathrm{AP}}| \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立ちます。逆に、最後の式からたどっていくと最初の式が得られることもわかります。
解答
ク：0 (3点)
ケ：3 (2点)
解答編 つづき
問題
(ii) $k$ を正の実数とし\[ k \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]が成り立つとする。このとき、 $\dBox{コ}$ が成り立つ。
また、点 $\mathrm{B}$ から直線 $\mathrm{AP}$ に下した垂線と直線 $\mathrm{AP}$ との交点を $\mathrm{B'}$ とし、同様に点 $\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{AP}$ に下した垂線と直線 $\mathrm{AP}$ との交点を $\mathrm{C'}$ とする。
このとき、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であることは、 $\dBox{サ}$ であることと同値である。特に $k=1$ のとき、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であることは、 $\dBox{シ}$ であることと同値である。
$\dbox{コ}$ の解答群
0: $k |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = |\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$
1: $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}| = k|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$
2: $k |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = \sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$
3: $k |\overrightarrow{\mathrm{AP}}| = \sqrt{2}|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|$
$\dbox{サ}$ の解答群
0: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ がともに線分 $\mathrm{AP}$ の中点
1: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ が線分 $\mathrm{AP}$ をそれぞれ $(k+1):1$ と $1:(k+1)$ に内分する点
2: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ が線分 $\mathrm{AP}$ をそれぞれ $1:(k+1)$ と $(k+1):1$ に内分する点
3: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ が線分 $\mathrm{AP}$ をそれぞれ $k:1$ と $1:k$ に内分する点
4: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ が線分 $\mathrm{AP}$ をそれぞれ $1:k$ と $k:1$ に内分する点
5: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ がともに線分 $\mathrm{AP}$ を $k:1$ に内分する点
6: $\mathrm{B'}$ と $\mathrm{C'}$ がともに線分 $\mathrm{AP}$ を $1:k$ に内分する点
$\dbox{シ}$ の解答群
0: $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ がともに正三角形
1: $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ がそれぞれ $\angle \mathrm{PBA}=90^{\circ}$, $\angle \mathrm{PCA}=90^{\circ}$ を満たす直角二等辺三角形
2: $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ がそれぞれ $\mathrm{BP=BA}$, $\mathrm{CP=CA}$ を満たす二等辺三角形
3: $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ が合同
4: $\mathrm{AP=BC}$
解説
(3)(ii)
\[ k \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}} = \overrightarrow{\mathrm{AP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}} \]が成り立つとき、
\begin{eqnarray}
k |\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta &=& |\overrightarrow{\mathrm{AP}}||\overrightarrow{\mathrm{AC}}|\cos\theta \\[5pt]
k |\overrightarrow{\mathrm{AB}}| &=& |\overrightarrow{\mathrm{AC}}| \\[5pt]
\end{eqnarray}が成り立ちます。
また、 $\triangle \mathrm{BAB'}$ で考えると、 $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|\cos\theta$ とは、 $\mathrm{AB'}$ の長さのことです。なので、ケ の式を変形すると\[ \mathrm{AB'}+\mathrm{AC'}=\mathrm{AP} \]となります。さらに、 $\triangle \mathrm{BAB'}$ と $\triangle \mathrm{CAC'}$ は相似（内角の2つが直角と $\theta$ なので）であることと $k \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$より\[ k\mathrm{AB'}=\mathrm{AC'} \]も成り立ちます。以上より、 $\mathrm{B'}$ は線分 $\mathrm{AP}$ を $1:k$ に内分する点、 $\mathrm{C'}$ は線分 $\mathrm{AP}$ を $k:1$ に内分する点だとわかります。逆にこのような点であれば、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ は垂直になります。
特に、 $k=1$ のときは、どちらも線分 $\mathrm{AP}$ の中点なので、 $\triangle \mathrm{PAB}$ は $\mathrm{BP}=\mathrm{BA}$ を満たす二等辺三角形で、$\triangle \mathrm{PAC}$ は $\mathrm{CP}=\mathrm{CA}$ を満たす二等辺三角形だとわかります。逆に、これらの場合は、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ は垂直になります。
ちなみに、 $\overrightarrow{\mathrm{PA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ が垂直であれば、 $\triangle \mathrm{PAB}$ と $\triangle \mathrm{PAC}$ が合同であることはいえますが、逆はいえません。 $\mathrm{B}$ から $\mathrm{B'}$ を作ったときに、$\mathrm{AP}$ の中点だと言えるわけではないからです。
解答
コサシ：042
