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共通テスト 数学II・数学B 2023年度 第2問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

(1) $k$ を正の定数とし、次の3次関数を考える。\[ f(x)=x^2(k-x) \]

 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の座標は $(0,0)$ と $\left(\dBox{ア},0\right)$ である。

 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は\[ f'(x)=\myBox{イウ}x^2+\myBox{エ}kx \]である。

 $x=\dBox{オ}$ のとき、 $f(x)$ は極小値 $\dBox{カ}$ をとる。

 $x=\dBox{キ}$ のとき、 $f(x)$ は極大値 $\dBox{キ}$ をとる。

 また、 $0\lt x\lt k$ の範囲において $x=\dbox{キ}$ のとき $f(x)$ は最大となることがわかる。

$\dbox{ア}$, $\dbox{オ}$ ~ $\dbox{ク}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$

 1: $\dfrac{1}{3}k$

 2: $\dfrac{1}{2}k$

 3: $\dfrac{2}{3}k$

 4: $k$

 5: $\dfrac{3}{2}k$

 6: $-4k^2$

 7: $\dfrac{1}{8}k^2$

 8: $\dfrac{2}{27}k^3$

 9: $\dfrac{4}{27}k^3$

 a: $\dfrac{4}{9}k^3$

 b: $4k^3$

(2) 後の図のように底面が半径 $9$ の円で高さが $15$ の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれ $x,V$ とする。 $V$ を $x$ の式で表すと\[ V=\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}} \pi x^2\left(\myBox{サ}-x\right) \quad(0\lt x\lt 9) \]である。(1)の考察より、 $x=\myBox{シ}$ のとき $V$ は最大となることがわかる。 $V$ の最大値は $\myBox{スセソ}\pi$ である。

考え方

前半は、微分に関するよくある問題です。後半は、前半の計算をうまく使い回して省力化して求めましょう。


【必答問題】

解答編

問題

(1) $k$ を正の定数とし、次の3次関数を考える。\[ f(x)=x^2(k-x) \]

 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸との共有点の座標は $(0,0)$ と $\left(\dBox{ア},0\right)$ である。

 $f(x)$ の導関数 $f'(x)$ は\[ f'(x)=\myBox{イウ}x^2+\myBox{エ}kx \]である。

 $x=\dBox{オ}$ のとき、 $f(x)$ は極小値 $\dBox{カ}$ をとる。

 $x=\dBox{キ}$ のとき、 $f(x)$ は極大値 $\dBox{キ}$ をとる。

 また、 $0\lt x\lt k$ の範囲において $x=\dbox{キ}$ のとき $f(x)$ は最大となることがわかる。

$\dbox{ア}$, $\dbox{オ}$ ~ $\dbox{ク}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$

 1: $\dfrac{1}{3}k$

 2: $\dfrac{1}{2}k$

 3: $\dfrac{2}{3}k$

 4: $k$

 5: $\dfrac{3}{2}k$

 6: $-4k^2$

 7: $\dfrac{1}{8}k^2$

 8: $\dfrac{2}{27}k^3$

 9: $\dfrac{4}{27}k^3$

 a: $\dfrac{4}{9}k^3$

 b: $4k^3$

解説

$f(x)=x^2(k-x)$ なので、$f(x)=0$ とすると $x=0,k$ です。なので、 $y=f(x)$ と $x$ 軸との共有点は $(0,0)$ と $(k,0)$ です。

$f(x)=-x^3+kx^2$ なので、\[ f'(x)=-3x^2+2kx \]となります。 $f'(x)=0$ の解は $x=0,\dfrac{2k}{3}$ であり、増減表は次のようになります。

\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 0 & \cdots & \dfrac{2k}{3} & \cdots \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \end{array}

これより、 $x=0$ のときに $f(x)$ は極小値 $0$ をとることがわかります。また、 $x=\dfrac{2}{3}k$ のときに極大値をとることがわかります。その値は
\begin{eqnarray} & & -\left(\frac{2}{3}k\right)^3+k\left(\frac{2}{3}k\right)^2 \\[5pt] &=& -\frac{8k^3}{27}+\frac{4k^3}{9} \\[5pt] &=& \frac{4k^3}{27} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。また、問題文にあるように、 $0\lt x\lt k$ の範囲では、 $x=\dfrac{2k}{3}$ のときに $f(x)$ が最大となることもわかります。

解答

ア:4 (1点)
イウエ:-32 (3点)
オ:0 (1点)
カ:0 (1点)
キ:3 (1点)
ク:9 (1点)

解答編 つづき

問題

(2) 後の図のように底面が半径 $9$ の円で高さが $15$ の円錐に内接する円柱を考える。円柱の底面の半径と体積をそれぞれ $x,V$ とする。 $V$ を $x$ の式で表すと\[ V=\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}} \pi x^2\left(\myBox{サ}-x\right) \quad(0\lt x\lt 9) \]である。(1)の考察より、 $x=\myBox{シ}$ のとき $V$ は最大となることがわかる。 $V$ の最大値は $\myBox{スセソ}\pi$ である。

解説

(2)
円柱の高さを $h$ とすると、 $x:(15-h)=9:15$ なので、
\begin{eqnarray} 15x &=& 9(15-h) \\[5pt] 9h &=& 135-15x \\[5pt] h &=& 15-\frac{5}{3}x \\[5pt] \end{eqnarray}となります。よって、円柱の体積は \begin{eqnarray} V &=& \pi x^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi x^2 \left( 15-\frac{5}{3}x \right) \\[5pt] &=& \frac{5}{3}\pi x^2 \left( 9-x \right) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

(1)で考えたように、 $x=\frac{2}{3}k$ のとき、つまり、今の場合は $k=9$ なので $x=6$ の場合に最大になることがわかります。代入して計算すると
\begin{eqnarray} V &=& \frac{5}{3}\pi \cdot 6^2 \left( 9-6 \right) \\[5pt] &=& 180\pi \\[5pt] \end{eqnarray}と求められます。

解答

ケコサ:539 (3点)
シ:6 (2点)
スセソ:180 (2点)

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