共通テスト 数学II・数学B 2023年度 第1問 [1] 解説

【必答問題】

問題編

問題

　三角関数の値の大小関係について考えよう。

(1) $x=\dfrac{\pi}{6}$ のとき $\sin x\dBox{ア} \sin 2x$ であり、 $x=\dfrac{2}{3}\pi$ のとき $\sin x\dBox{イ} \sin 2x$ である。

$\dbox{ア}$, $\dbox{イ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $\lt$
　1: $=$
　2: $\gt$

(2) $\sin x$ と $\sin 2x$ の値の大小関係を詳しく調べよう。\[ \sin 2x-\sin x=\sin x \left( \myBox{ウ}\cos x-\myBox{エ} \right) \]であるから、 $\sin 2x-\sin x\gt 0$ が成り立つことは
　「$\sin x\gt 0$ かつ $\mybox{ウ} \cos x-\mybox{エ}\gt 0$」 $\cdots$ ①
または
　「$\sin x\lt 0$ かつ $\mybox{ウ} \cos x-\mybox{エ}\lt 0$」 $\cdots$ ②
が成り立つことと同値である。 $0\leqq x \leqq 2x$ のとき、①が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \dfrac{\pi}{\myBox{オ}} \]であり、②が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ \pi \lt x \lt \dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}}\pi \]である。よって、 $0\leqq x \leqq 2\pi$ のとき、 $\sin 2x\gt \sin x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \frac{\pi}{\mybox{オ}} ,\ \pi\lt x\lt\frac{\mybox{カ}}{\mybox{キ}}\pi \]である。

(3) $\sin 3x$ と $\sin 4x$ の値の大小関係を調べよう。

　三角関数の加法定理を用いると、等式\[ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta \quad \cdots ③ \]が得られる。 $\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$ を満たす $\alpha,\beta$ に対して③を用いることにより、 $\sin 4x-\sin 3x\gt 0$ が成り立つことは
　「$\cos\dBox{ク}\gt 0$ かつ $\sin\dBox{ケ}\gt 0$」 $\cdots$ ④
または
　「$\cos\dBox{ク}\lt 0$ かつ $\sin\dBox{ケ}\lt 0$」 $\cdots$ ⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。

　$0\leqq x\leqq \pi$ のとき、④、⑤により、 $\sin 4x\gt \sin 3x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \frac{\pi}{\myBox{コ}} ,\ \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}\pi\lt x\lt\frac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}\pi \]である。

$\dbox{ク}$, $\dbox{ケ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $0$
　1: $x$
　2: $2x$
　3: $3x$

　4: $4x$
　5: $5x$
　6: $6x$

　7: $\dfrac{x}{2}$

　8: $\dfrac{3}{2}x$

　9: $\dfrac{5}{2}x$

　a: $\dfrac{7}{2}x$

　b: $\dfrac{9}{2}x$

(4) (2), (3)の考察から、 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $\sin 3x\gt \sin 4x\gt \sin 2x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ \frac{\pi}{\mybox{コ}}\lt x \lt \frac{\pi}{\myBox{ソ}} ,\ \frac{\mybox{ス}}{\mybox{セ}}\pi\lt x\lt\frac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\pi \]であることがわかる。

考え方

誘導が丁寧ですし、和積の公式も書いてくれてますし、いろいろ親切です。ただ、設問ごとに角度の範囲が微妙に変わってるので注意しないといけなかったり、(4)は(2)と(3)の結果をそのまま使うわけではなかったりなど、ちゃんと問題文が読めていないと落とし穴があるので注意しましょう。

【必答問題】

解答編

問題

　三角関数の値の大小関係について考えよう。

(1) $x=\dfrac{\pi}{6}$ のとき $\sin x\dBox{ア} \sin 2x$ であり、 $x=\dfrac{2}{3}\pi$ のとき $\sin x\dBox{イ} \sin 2x$ である。

$\dbox{ア}$, $\dbox{イ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $\lt$
　1: $=$
　2: $\gt$

解説

(1)
$x=\dfrac{\pi}{6}$ のとき、 $\sin x=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ と $\sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ から、 $\sin x\lt \sin 2x$ が成り立ちます。

また、$x=\dfrac{2}{3}\pi$ のとき、 $\sin x=\sin\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ と $\sin 2x=\sin\dfrac{4}{3}\pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ から、 $\sin x\gt \sin 2x$ が成り立ちます。

解答

ア：0 (1点)
イ：2 (1点)

解答編　つづき

問題

(2) $\sin x$ と $\sin 2x$ の値の大小関係を詳しく調べよう。\[ \sin 2x-\sin x=\sin x \left( \myBox{ウ}\cos x-\myBox{エ} \right) \]であるから、 $\sin 2x-\sin x\gt 0$ が成り立つことは
　「$\sin x\gt 0$ かつ $\mybox{ウ} \cos x-\mybox{エ}\gt 0$」 $\cdots$ ①
または
　「$\sin x\lt 0$ かつ $\mybox{ウ} \cos x-\mybox{エ}\lt 0$」 $\cdots$ ②
が成り立つことと同値である。 $0\leqq x \leqq 2x$ のとき、①が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \dfrac{\pi}{\myBox{オ}} \]であり、②が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ \pi \lt x \lt \dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}}\pi \]である。よって、 $0\leqq x \leqq 2\pi$ のとき、 $\sin 2x\gt \sin x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \frac{\pi}{\mybox{オ}} ,\ \pi\lt x\lt\frac{\mybox{カ}}{\mybox{キ}}\pi \]である。

解説

(2)
倍角の公式から、
\begin{eqnarray} \sin 2x-\sin x &=& 2 \sin x \cos x -\sin x \\[5pt] &=& \sin x(2\cos x -1) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

$\sin x\gt 0$ となるのは $0\lt x\lt \pi$ のときです。また、 $2\cos x-1\gt 0$ となるのは、 $\cos x\gt\dfrac{1}{2}$ のときなので、両方を満たす範囲は\[ 0\lt x\lt\frac{\pi}{3} \]となります。

一方、$\sin x\lt 0$ となるのは $\pi\lt x\lt 2\pi$ のときです。また、 $2\cos x-1\lt 0$ となるのは、 $\cos x\lt\dfrac{1}{2}$ のときなので、両方を満たす範囲は\[ \pi\lt x\lt\frac{5}{3}\pi \]となります。

解答

ウエ：21 (2点)
オ：3 (2点)
カキ：53 (2点)

解答編　つづき

問題

(3) $\sin 3x$ と $\sin 4x$ の値の大小関係を調べよう。

　三角関数の加法定理を用いると、等式\[ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta \quad \cdots ③ \]が得られる。 $\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$ を満たす $\alpha,\beta$ に対して③を用いることにより、 $\sin 4x-\sin 3x\gt 0$ が成り立つことは
　「$\cos\dBox{ク}\gt 0$ かつ $\sin\dBox{ケ}\gt 0$」 $\cdots$ ④
または
　「$\cos\dBox{ク}\lt 0$ かつ $\sin\dBox{ケ}\lt 0$」 $\cdots$ ⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。

　$0\leqq x\leqq \pi$ のとき、④、⑤により、 $\sin 4x\gt \sin 3x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \frac{\pi}{\myBox{コ}} ,\ \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}\pi\lt x\lt\frac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}\pi \]である。

$\dbox{ク}$, $\dbox{ケ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）

　0: $0$
　1: $x$
　2: $2x$
　3: $3x$

　4: $4x$
　5: $5x$
　6: $6x$

　7: $\dfrac{x}{2}$

　8: $\dfrac{3}{2}x$

　9: $\dfrac{5}{2}x$

　a: $\dfrac{7}{2}x$

　b: $\dfrac{9}{2}x$

解説

(3)
いわゆる「和積の公式」とほぼ同じ式が書いてくれているので親切ですね（加法定理を使って整理すれば成り立つことがわかります）。 \[ \alpha+\beta=4x,\ \alpha-\beta=3x \]を満たすものは、連立方程式を解けば、 $\alpha=\dfrac{7}{2}x$, $\beta=\dfrac{1}{2}x$ と求められます。なので、
\begin{eqnarray} \sin 4x-\sin 3x = 2\cos\frac{7}{2}x \sin\frac{1}{2}x \end{eqnarray}が成り立ちます。このことから、 $\sin 4x-\sin 3x\gt 0$ が成り立つことは、どちらも正のときか、どちらも負のときだとわかります。

$0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $0\leqq \dfrac{1}{2}x \leqq \dfrac{1}{2}\pi$ なので、 $\sin\dfrac{1}{2}x \geqq 0$ が成り立ちます。なので、④の場合だけ考えればいいです。

$0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $0\leqq \dfrac{7}{2}x \leqq \dfrac{7}{2}\pi$ となります。よって、 $\cos\dfrac{7}{2}x \gt 0$ となるのは、

　$0\lt \dfrac{7}{2}x\lt \dfrac{\pi}{2}$ または $\dfrac{3}{2}\pi \lt \dfrac{7}{2}x\lt \dfrac{5}{2}\pi$

のときです。つまり、

　$0\lt x\lt \dfrac{\pi}{7}$ または $\dfrac{3}{7}\pi \lt x\lt \dfrac{5}{7}\pi$

のときです。

解答

クケ：a7 (2点)
コ：7 (2点)
サシスセ：3757 (2点)

解答編　つづき

問題

(4) (2), (3)の考察から、 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $\sin 3x\gt \sin 4x\gt \sin 2x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ \frac{\pi}{\mybox{コ}}\lt x \lt \frac{\pi}{\myBox{ソ}} ,\ \frac{\mybox{ス}}{\mybox{セ}}\pi\lt x\lt\frac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\pi \]であることがわかる。

解説

$y=2x$ とおくと、 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $0\leqq y\leqq 2\pi$ となります。よって、(2)より、 $\sin 2y-\sin y\gt 0$ となるのは、\[ 0\lt y\lt\frac{\pi}{3}, \ \pi\lt y\lt\frac{5}{3}\pi \]のときです。 $y=2x$ なので、 $x$ を使って表すと、 $\sin 4x\gt \sin 2x$ となるのは\[ 0\lt x\lt\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{5}{6}\pi \]のときです。

また、 $\sin 3x\gt \sin 4x$ となるのは、(3)の答えをもとに考えると、\[ \frac{\pi}{7}\lt x\lt\frac{3}{7}\pi,\ \frac{5}{7}\pi\lt x \lt \pi \]となります。

これら両方を満たすことと、 $\sin 3x\gt \sin 4x\gt \sin 2x$ が成り立つことは同値なので、求める範囲は\[ \frac{\pi}{7}\lt x\lt\frac{\pi}{6}, \ \frac{5}{7}\pi\lt x\lt\frac{5}{6}\pi \]となります。

解答

ソ：6 (2点)
タチ：56 (2点)