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共通テスト 数学II・数学B 2023年度 第1問 [1] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 三角関数の値の大小関係について考えよう。

(1) $x=\dfrac{\pi}{6}$ のとき $\sin x\dBox{ア} \sin 2x$ であり、 $x=\dfrac{2}{3}\pi$ のとき $\sin x\dBox{イ} \sin 2x$ である。

$\dbox{ア}$, $\dbox{イ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

(2) $\sin x$ と $\sin 2x$ の値の大小関係を詳しく調べよう。\[ \sin 2x-\sin x=\sin x \left( \myBox{ウ}\cos x-\myBox{エ} \right) \]であるから、 $\sin 2x-\sin x\gt 0$ が成り立つことは
 「$\sin x\gt 0$ かつ $\mybox{ウ} \cos x-\mybox{エ}\gt 0$」 $\cdots$ ①
または
 「$\sin x\lt 0$ かつ $\mybox{ウ} \cos x-\mybox{エ}\lt 0$」 $\cdots$ ②
が成り立つことと同値である。 $0\leqq x \leqq 2x$ のとき、①が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \dfrac{\pi}{\myBox{オ}} \]であり、②が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ \pi \lt x \lt \dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}}\pi \]である。よって、 $0\leqq x \leqq 2\pi$ のとき、 $\sin 2x\gt \sin x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \frac{\pi}{\mybox{オ}} ,\ \pi\lt x\lt\frac{\mybox{カ}}{\mybox{キ}}\pi \]である。

(3) $\sin 3x$ と $\sin 4x$ の値の大小関係を調べよう。

 三角関数の加法定理を用いると、等式\[ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta \quad \cdots ③ \]が得られる。 $\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$ を満たす $\alpha,\beta$ に対して③を用いることにより、 $\sin 4x-\sin 3x\gt 0$ が成り立つことは
 「$\cos\dBox{ク}\gt 0$ かつ $\sin\dBox{ケ}\gt 0$」 $\cdots$ ④
または
 「$\cos\dBox{ク}\lt 0$ かつ $\sin\dBox{ケ}\lt 0$」 $\cdots$ ⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。

 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき、④、⑤により、 $\sin 4x\gt \sin 3x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \frac{\pi}{\myBox{コ}} ,\ \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}\pi\lt x\lt\frac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}\pi \]である。

$\dbox{ク}$, $\dbox{ケ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$
 1: $x$
 2: $2x$
 3: $3x$

 4: $4x$
 5: $5x$
 6: $6x$

 7: $\dfrac{x}{2}$

 8: $\dfrac{3}{2}x$

 9: $\dfrac{5}{2}x$

 a: $\dfrac{7}{2}x$

 b: $\dfrac{9}{2}x$

(4) (2), (3)の考察から、 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $\sin 3x\gt \sin 4x\gt \sin 2x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ \frac{\pi}{\mybox{コ}}\lt x \lt \frac{\pi}{\myBox{ソ}} ,\ \frac{\mybox{ス}}{\mybox{セ}}\pi\lt x\lt\frac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\pi \]であることがわかる。

考え方


【必答問題】

解答編

問題

 三角関数の値の大小関係について考えよう。

(1) $x=\dfrac{\pi}{6}$ のとき $\sin x\dBox{ア} \sin 2x$ であり、 $x=\dfrac{2}{3}\pi$ のとき $\sin x\dBox{イ} \sin 2x$ である。

$\dbox{ア}$, $\dbox{イ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\lt$
 1: $=$
 2: $\gt$

解説

(1)
$x=\dfrac{\pi}{6}$ のとき、 $\sin x=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}$ と $\sin 2x=\sin\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ から、 $\sin x\lt \sin 2x$ が成り立ちます。

また、$x=\dfrac{2}{3}\pi$ のとき、 $\sin x=\sin\dfrac{2}{3}\pi=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ と $\sin 2x=\sin\dfrac{4}{3}\pi=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ から、 $\sin x\gt \sin 2x$ が成り立ちます。

解答

ア:0 (1点)
イ:2 (1点)

解答編 つづき

問題

(2) $\sin x$ と $\sin 2x$ の値の大小関係を詳しく調べよう。\[ \sin 2x-\sin x=\sin x \left( \myBox{ウ}\cos x-\myBox{エ} \right) \]であるから、 $\sin 2x-\sin x\gt 0$ が成り立つことは
 「$\sin x\gt 0$ かつ $\mybox{ウ} \cos x-\mybox{エ}\gt 0$」 $\cdots$ ①
または
 「$\sin x\lt 0$ かつ $\mybox{ウ} \cos x-\mybox{エ}\lt 0$」 $\cdots$ ②
が成り立つことと同値である。 $0\leqq x \leqq 2x$ のとき、①が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \dfrac{\pi}{\myBox{オ}} \]であり、②が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ \pi \lt x \lt \dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}}\pi \]である。よって、 $0\leqq x \leqq 2\pi$ のとき、 $\sin 2x\gt \sin x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \frac{\pi}{\mybox{オ}} ,\ \pi\lt x\lt\frac{\mybox{カ}}{\mybox{キ}}\pi \]である。

解説

(2)
倍角の公式から、
\begin{eqnarray} \sin 2x-\sin x &=& 2 \sin x \cos x -\sin x \\[5pt] &=& \sin x(2\cos x -1) \\[5pt] \end{eqnarray}となります。

$\sin x\gt 0$ となるのは $0\lt x\lt \pi$ のときです。また、 $2\cos x-1\gt 0$ となるのは、 $\cos x\gt\dfrac{1}{2}$ のときなので、両方を満たす範囲は\[ 0\lt x\lt\frac{\pi}{3} \]となります。

一方、$\sin x\lt 0$ となるのは $\pi\lt x\lt 2\pi$ のときです。また、 $2\cos x-1\lt 0$ となるのは、 $\cos x\lt\dfrac{1}{2}$ のときなので、両方を満たす範囲は\[ \pi\lt x\lt\frac{5}{3}\pi \]となります。

解答

ウエ:21 (2点)
オ:3 (2点)
カキ:53 (2点)

解答編 つづき

問題

(3) $\sin 3x$ と $\sin 4x$ の値の大小関係を調べよう。

 三角関数の加法定理を用いると、等式\[ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta \quad \cdots ③ \]が得られる。 $\alpha+\beta=4x$, $\alpha-\beta=3x$ を満たす $\alpha,\beta$ に対して③を用いることにより、 $\sin 4x-\sin 3x\gt 0$ が成り立つことは
 「$\cos\dBox{ク}\gt 0$ かつ $\sin\dBox{ケ}\gt 0$」 $\cdots$ ④
または
 「$\cos\dBox{ク}\lt 0$ かつ $\sin\dBox{ケ}\lt 0$」 $\cdots$ ⑤
が成り立つことと同値であることがわかる。

 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき、④、⑤により、 $\sin 4x\gt \sin 3x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ 0\lt x \lt \frac{\pi}{\myBox{コ}} ,\ \frac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}\pi\lt x\lt\frac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}\pi \]である。

$\dbox{ク}$, $\dbox{ケ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$
 1: $x$
 2: $2x$
 3: $3x$

 4: $4x$
 5: $5x$
 6: $6x$

 7: $\dfrac{x}{2}$

 8: $\dfrac{3}{2}x$

 9: $\dfrac{5}{2}x$

 a: $\dfrac{7}{2}x$

 b: $\dfrac{9}{2}x$

解説

(3)
いわゆる「和積の公式」とほぼ同じ式が書いてくれているので親切ですね(加法定理を使って整理すれば成り立つことがわかります)。 \[ \alpha+\beta=4x,\ \alpha-\beta=3x \]を満たすものは、連立方程式を解けば、 $\alpha=\dfrac{7}{2}x$, $\beta=\dfrac{1}{2}x$ と求められます。なので、
\begin{eqnarray} \sin 4x-\sin 3x = 2\cos\frac{7}{2}x \sin\frac{1}{2}x \end{eqnarray}が成り立ちます。このことから、 $\sin 4x-\sin 3x\gt 0$ が成り立つことは、どちらも正のときか、どちらも負のときだとわかります。

$0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $0\leqq \dfrac{1}{2}x \leqq \dfrac{1}{2}\pi$ なので、 $\sin\dfrac{1}{2}x \geqq 0$ が成り立ちます。なので、④の場合だけ考えればいいです。

$0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $0\leqq \dfrac{7}{2}x \leqq \dfrac{7}{2}\pi$ となります。よって、 $\cos\dfrac{7}{2}x \gt 0$ となるのは、

 $0\lt \dfrac{7}{2}x\lt \dfrac{\pi}{2}$ または $\dfrac{3}{2}\pi \lt \dfrac{7}{2}x\lt \dfrac{5}{2}\pi$

のときです。つまり、

 $0\lt x\lt \dfrac{\pi}{7}$ または $\dfrac{3}{7}\pi \lt x\lt \dfrac{5}{7}\pi$

のときです。

解答

クケ:a7 (2点)
コ:7 (2点)
サシスセ:3757 (2点)

解答編 つづき

問題

(4) (2), (3)の考察から、 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $\sin 3x\gt \sin 4x\gt \sin 2x$ が成り立つような $x$ の値の範囲は\[ \frac{\pi}{\mybox{コ}}\lt x \lt \frac{\pi}{\myBox{ソ}} ,\ \frac{\mybox{ス}}{\mybox{セ}}\pi\lt x\lt\frac{\myBox{タ}}{\myBox{チ}}\pi \]であることがわかる。

解説

$y=2x$ とおくと、 $0\leqq x\leqq \pi$ のとき、 $0\leqq y\leqq 2\pi$ となります。よって、(2)より、 $\sin 2y-\sin y\gt 0$ となるのは、\[ 0\lt y\lt\frac{\pi}{3}, \ \pi\lt y\lt\frac{5}{3}\pi \]のときです。 $y=2x$ なので、 $x$ を使って表すと、 $\sin 4x\gt \sin 2x$ となるのは\[ 0\lt x\lt\frac{\pi}{6}, \ \frac{\pi}{2}\lt x\lt\frac{5}{6}\pi \]のときです。

また、 $\sin 3x\gt \sin 4x$ となるのは、(3)の答えをもとに考えると、\[ \frac{\pi}{7}\lt x\lt\frac{3}{7}\pi,\ \frac{5}{7}\pi\lt x \lt \pi \]となります。

これら両方を満たすことと、 $\sin 3x\gt \sin 4x\gt \sin 2x$ が成り立つことは同値なので、求める範囲は\[ \frac{\pi}{7}\lt x\lt\frac{\pi}{6}, \ \frac{5}{7}\pi\lt x\lt\frac{5}{6}\pi \]となります。

解答

ソ:6 (2点)
タチ:56 (2点)

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