共通テスト数学II・数学B 2022年度追試第2問解説

🕒 2022/02/11 🔄 2023/05/01

【必答問題】

問題編

問題

　$k$ を実数とし\[ f(x)=x^3-kx \]とおく。また、座標平面上の曲線 $y=f(x)$ を $C$ とする。

　必要に応じて、次のことを用いてもよい。

曲線 $C$ の平行移動
曲線 $C$ を $x$ 軸方向に $p$、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の方程式は\[ y=(x-p)^3-k(x-p)+q \]である。

(1) $t$ を実数とし\[ g(x)=(x-t)^3-k(x-t) \]とおく。また、座標平面上の曲線 $y=g(x)$ を $C_1$ とする。

(i) 関数 $f(x)$ は $x=2$ で極値をとるとする。

　このとき、 $f'(2)=\myBox{ア}$ であるから、 $k=\myBox{イウ}$ であり、 $f(x)$ は $x=\myBox{エオ}$ で極大値をとる。また、 $g(x)$ が $x=3$ で極大値をとるとき、 $t=\myBox{カ}$ である。

(ii) $t=1$ とする。また、曲線 $C$ と $C_1$ は2点で交わるとし、一つの交点の $x$ 座標は $-2$ であるとする。このとき、 $k=\myBox{キク}$ であり、もう一方の交点の $x$ 座標は $\myBox{ケ}$ である。また、 $C$ と $C_1$ で囲まれた図形のうち、 $x\geqq 0$ の範囲にある部分の面積は $\dfrac{\myBox{コサ} }{\myBox{シ} }$ である。

(2) $a,b,c$ を実数とし\[ h(x)=x^3+3ax^2+bx+c \]とおく。また、座標平面上の曲線 $y=h(x)$ を $C_2$ とする。

(i) 曲線 $C$ を平行移動して、 $C_2$ と一致させることができるかどうかを考察しよう。 $C$ を $x$ 軸方向に $p$、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線が $C_2$ と一致するとき\[ h(x)=(x-p)^3-k(x-p)+q \quad\cdots ① \]である。よって、 $p=\myBox{スセ}$, $b=\myBox{ソ}p^2-k$ であり\[ k=\myBox{タ}a^2-b \quad\cdots ② \]である。また、①において、 $x=p$ を代入すると、 $q=h(p)=h\left(\mybox{スセ}\right)$ となる。

　逆に、 $k$ が②を満たすとき、 $C$ を $x$ 軸方向に $\mybox{スセ}$, $y$ 軸方向に $h\left(\mybox{スセ}\right)$ だけ平行移動させると $C_2$ と一致することが確かめられる。

(ii) $b=3a^2-3$ とする。このとき、曲線 $C_2$ は曲線\[ y=x^3-\myBox{チ}x \]を平行移動したものと一致する。よって、 $h(x)$ が $x=4$ で極大値 $3$ をとるとき、 $h(x)$ は $x=\myBox{ツ}$ で極小値 $\myBox{テト}$ をとることがわかる。

(iii) 次の 0 ～ 3 のうち、平行移動によって一致させることができる二つの異なる曲線は $\dBox{ナ}$ と $\dBox{ニ}$ である。

　$\dbox{ナ}$, $\dbox{ニ}$ の解答群（解答の順序は問わない。）

　0: $y=x^3-x-5$
　1: $y=x^3+3x^2-2x-4$
　2: $y=x^3-6x^2-x-4$
　3: $y=x^3-6x^2+7x-5$

考え方

前半は、極大値・極小値を求めたり、面積を求めたりと、微分積分で学ぶ内容がほとんどです。

後半はグラフの平行移動に絡んだ問題ですが、関係式の導出には誘導がついていますし、それをどう利用するかもそれほど難しくはないでしょう。(ii)は特徴的な点に着目しましょう。(iii)は、(i)の内容をどう利用するか考えましょう。

【必答問題】

解答編

問題

　$k$ を実数とし\[ f(x)=x^3-kx \]とおく。また、座標平面上の曲線 $y=f(x)$ を $C$ とする。

　必要に応じて、次のことを用いてもよい。

曲線 $C$ の平行移動
曲線 $C$ を $x$ 軸方向に $p$、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の方程式は\[ y=(x-p)^3-k(x-p)+q \]である。

(1) $t$ を実数とし\[ g(x)=(x-t)^3-k(x-t) \]とおく。また、座標平面上の曲線 $y=g(x)$ を $C_1$ とする。

(i) 関数 $f(x)$ は $x=2$ で極値をとるとする。

　このとき、 $f'(2)=\myBox{ア}$ であるから、 $k=\myBox{イウ}$ であり、 $f(x)$ は $x=\myBox{エオ}$ で極大値をとる。また、 $g(x)$ が $x=3$ で極大値をとるとき、 $t=\myBox{カ}$ である。

解説

$x=2$ で極値をとるので、 $f'(2)=0$ です。 $f'(x)=3x^2-k$ なので $f'(2)=0$ から $12-k=0$ となることがわかるので、 $k=12$ が得られます。

\[ f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2) \]なので、 $f'(x)=0$ ならば $x=2,-2$ です。増減表は以下のようになります。
\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -2 & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \end{array}よって、 $x=-2$ で極大値をとることがわかります。

曲線 $y=g(x)$ は曲線 $f(x)$ を $x$ 軸方向に $t$ だけ平行移動したものです。 $g(x)$ が $x=3$ で極大値をとることから、極大値をとるところに着目すれば $3-(-2)=5$ だけ平行移動したものであることがわかります。

解答

ア：0
イウ：12
エオ：-2
カ：5

解答編つづき

問題

(ii) $t=1$ とする。また、曲線 $C$ と $C_1$ は2点で交わるとし、一つの交点の $x$ 座標は $-2$ であるとする。このとき、 $k=\myBox{キク}$ であり、もう一方の交点の $x$ 座標は $\myBox{ケ}$ である。また、 $C$ と $C_1$ で囲まれた図形のうち、 $x\geqq 0$ の範囲にある部分の面積は $\dfrac{\myBox{コサ} }{\myBox{シ} }$ である。

解説

2曲線の交点の $x$ 座標は\[ f(x)=g(x) \]を満たします。 $x=-2$ が1つの解であることから、これを代入し、 $t=1$ も代入すると
\begin{eqnarray} (-2)^3-(-2)k &=& (-2-1)^3-(-2-1)k \\[5pt] -8+2k &=& -27+3k \\[5pt] -k &=& -19 \\[5pt] k &=& 19 \end{eqnarray}と求められます。

これより
\begin{eqnarray} g(x) &=& (x-1)^3-19(x-1) \\[5pt] &=& x^3-3x^2+3x-1 -19x+19 \\[5pt] &=& x^3-3x^2-16x+18 \\[5pt] \end{eqnarray}なので、交点の $x$ 座標は \begin{eqnarray} f(x)-g(x) &=& 0 \\[5pt] (x^3-19x) -(x^3-3x^2-16x+18) &=& 0 \\[5pt] 3x^2-3x-18 &=& 0 \\[5pt] 3(x-3)(x+2) &=& 0 \\[5pt] x &=& -2, 3 \end{eqnarray}と求められます。なので、もう一方の交点の $x$ 座標は $3$ です。

最後に、面積を求めます。上の計算より $f(x)-g(x)=3(x-3)(x+2)$ なので、 $-2\lt x \lt 3$ で $f(x)\lt g(x)$ となります。よって、 $0\lt x \lt 3$ の範囲では、 $y=g(x)$ のほうが上にあるので、2曲線で囲まれた部分のうち、 $x\geqq 0$ の範囲にある部分の面積は
\begin{eqnarray} & & \int_0^3 \{ g(x)-f(x) \}dx \\[5pt] &=& \int_0^3 (-3x^2+3x+18)dx \\[5pt] &=& -3\int_0^3 (x^2-x-6)dx \\[5pt] &=& -3\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-6x\right]_0^3 \\[5pt] &=& -3\left(\frac{3^3}{3}-\frac{3^2}{2}-6\cdot 3\right) \\[5pt] &=& -3\left(9-\frac{9}{2}-18\right) \\[5pt] &=& -3\left(-\frac{27}{2}\right) \\[5pt] &=& \frac{81}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}と計算できます。

解答

キク：19
ケ：3
コサシ：812

解答編つづき

問題

(2) $a,b,c$ を実数とし\[ h(x)=x^3+3ax^2+bx+c \]とおく。また、座標平面上の曲線 $y=h(x)$ を $C_2$ とする。

(i) 曲線 $C$ を平行移動して、 $C_2$ と一致させることができるかどうかを考察しよう。 $C$ を $x$ 軸方向に $p$、 $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線が $C_2$ と一致するとき\[ h(x)=(x-p)^3-k(x-p)+q \quad\cdots ① \]である。よって、 $p=\myBox{スセ}$, $b=\myBox{ソ}p^2-k$ であり\[ k=\myBox{タ}a^2-b \quad\cdots ② \]である。また、①において、 $x=p$ を代入すると、 $q=h(p)=h\left(\mybox{スセ}\right)$ となる。

　逆に、 $k$ が②を満たすとき、 $C$ を $x$ 軸方向に $\mybox{スセ}$, $y$ 軸方向に $h\left(\mybox{スセ}\right)$ だけ平行移動させると $C_2$ と一致することが確かめられる。

解説

①の右辺を計算すると
\begin{eqnarray} h(x) &=& (x-p)^3-k(x-p)+q \\[5pt] &=& x^3-3px^2+3p^2x-p^3-kx+kp+q \\[5pt] &=& x^3-3px^2+(3p^2-k)x-p^3+kp+q \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $h(x)=x^3+3ax^2+bx+c$ と係数比較をすると、 $x^2$ の項から $3a=-3p$ より、 $p=-a$ が得られます。 $x$ の項から $b=3p^2-k$ が得られます。この2つの式から \begin{eqnarray} b &=& 3(-a)^2-k \\[5pt] k &=& 3a^2-b \end{eqnarray}が得られます。

また、問題文にあるように、① で $x=p$ を代入すると、 $h(p)=q$ となることがわかります。これは $h(-a)$ と一致します。

以上から、 $p, q, k$ を $a,b,c$ で表すことができます。 $k=3a^2-b$ を満たすなら、上で定めた $p, q$ を使うと、 $C$ を平行移動して $C_2$ と一致させることができます。

解答

スセ：-a
ソ：3
タ：3

解答編つづき

問題

(ii) $b=3a^2-3$ とする。このとき、曲線 $C_2$ は曲線\[ y=x^3-\myBox{チ}x \]を平行移動したものと一致する。よって、 $h(x)$ が $x=4$ で極大値 $3$ をとるとき、 $h(x)$ は $x=\myBox{ツ}$ で極小値 $\myBox{テト}$ をとることがわかる。

解説

$b=3a^2-3$ のとき、 $k=3a^2-b=3$ です。(i)で見た内容から、 $C_2$ は $y=x^3-kx=x^3-3x$ を平行移動したものと一致します。

$y=x^3-3x$ のとき、 $y'=3(x+1)(x-1)$ なので、 $y'=0$ ならば $x=\pm 1$ です。よって、増減表は以下のようになります。
\begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline h'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline h(x) & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & \end{array}また、極大値は $h(-1)=(-1)^3-3(-1)=2$ で、極小値は $h(1)=1-3=-2$ です。

平行移動により、極大値は極大値へとうつるので、 $(-1,2)$ は $(4,3)$ へ移ります。つまり、 $y=x^3-3x$ を $x$ 軸方向に $4-(-1)=5$ 、 $y$ 軸方向に $3-2=1$ だけ平行移動すると $C_2$ に一致することがわかります。 $y=x^3-3x$ は $x=1$ で極小値 $-2$ をとるので、 $h(x)$ は $x=1+5=6$ で極小値 $-2+1=-1$ をとることがわかります。

解答

チ：3
ツ：6
テト：-1

解答編つづき

問題

(iii) 次の 0 ～ 3 のうち、平行移動によって一致させることができる二つの異なる曲線は $\dBox{ナ}$ と $\dBox{ニ}$ である。

　$\dbox{ナ}$, $\dbox{ニ}$ の解答群（解答の順序は問わない。）

　0: $y=x^3-x-5$
　1: $y=x^3+3x^2-2x-4$
　2: $y=x^3-6x^2-x-4$
　3: $y=x^3-6x^2+7x-5$