共通テスト 数学II・数学B 2022年度追試 第1問 [2] 解説
【必答問題】
問題編
問題
$\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ を満たすとする。
(1) $\tan\theta=-\sqrt{3}$ のとき、 $\theta=\dBox{テ}$ であり\[ \cos\theta=\dBox{ト} \ ,\ \sin\theta=\dBox{ナ} \]である。
一般に、 $\tan\theta=k$ のとき\[ \cos\theta=\dBox{ニ} \ , \ \sin\theta=\dBox{ヌ} \]である。
$\dbox{テ}$ の解答群
0: $-\dfrac{\pi}{3}$
1: $-\dfrac{\pi}{4}$
2: $-\dfrac{\pi}{6}$
3: $\dfrac{\pi}{6}$
4: $\dfrac{\pi}{4}$
5: $\dfrac{\pi}{3}$
$\dbox{ト},\ \dbox{ナ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $0$
1: $1$
2: $-1$
3: $\dfrac{\sqrt{3} }{2}$
4: $-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$
5: $\dfrac{\sqrt{2} }{2}$
6: $-\dfrac{\sqrt{2} }{2}$
7: $\dfrac{1}{2}$
8: $-\dfrac{1}{2}$
$\dbox{ニ},\ \dbox{ヌ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $\dfrac{1}{1+k^2}$
1: $-\dfrac{1}{1+k^2}$
2: $\dfrac{k}{1+k^2}$
3: $-\dfrac{k}{1+k^2}$
4: $\dfrac{2}{1+k^2}$
5: $-\dfrac{2}{1+k^2}$
6: $\dfrac{2k}{1+k^2}$
7: $-\dfrac{2k}{1+k^2}$
8: $\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$
9: $-\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$
a: $\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }$
b: $-\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }$
(2) 花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
- $-\dfrac{\pi}{2}\lt \theta \lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を動かすとき、 $\tan\theta$ のとり得る値の範囲は実数全体だよね。
- $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ だけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
$\dfrac{\sin 2\theta}{\cos\theta}=p$, $\dfrac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{7}\right)}{\cos\theta}=q$ とおく。
$-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を動かすとき、 $p$ のとり得る値の範囲は $\dBox{ネ}$ であり、 $q$ のとり得る値の範囲は $\dBox{ノ}$ である。
$\dbox{ネ}$ の解答群
0: $-1\lt p \lt 1$
1: $0\lt p \lt 1$
2: $-2\lt p \lt 2$
3: $0\lt p \lt 2$
4: 実数全体
5: 正の実数全体
$\dbox{ノ}$ の解答群
0: $-1\lt q \lt 1$
1: $0\lt q \lt 1$
2: $-2\lt q \lt 2$
3: $0\lt q \lt 2$
4: 実数全体
5: 正の実数全体
6: $-\sin\dfrac{\pi}{7} \lt q \lt \sin\dfrac{\pi}{7}$
7: $0 \lt q \lt \sin\dfrac{\pi}{7}$
8: $-\cos\dfrac{\pi}{7} \lt q \lt \cos\dfrac{\pi}{7}$
9: $0 \lt q \lt \cos\dfrac{\pi}{7}$
(3) $\alpha$ は $0\leqq \alpha\lt 2\pi$ を満たすとし\[ \frac{\sin(\theta+\alpha)}{\cos\theta}=r \]とおく。 $\alpha=\dfrac{\pi}{7}$ の場合、 $r$ は(2)で定めた $q$ と等しい。
$\alpha$ の値を一つ定め、 $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ のみを動かすとき、 $r$ のとり得る値の範囲を考える。
$r$ のとり得る値の範囲が $q$ のとり得る範囲と異なるような $\alpha\ (0\leqq \alpha\lt 2\pi)$ は $\dBox{ハ}$ 。
$\dbox{ハ}$ の解答群
0: 存在しない
1: ちょうど１個存在する
2: ちょうど２個存在する
3: ちょうど３個存在する
4: ちょうど４個存在する
5: ５個以上存在する
考え方
(1)は、三角関数の基本的な問題です。(2)は、三角関数で学ぶ公式を使って変形する問題です。
(3)も、公式を使って変形する問題です。変形した後に考えないといけないことはありますが、三角関数とはあまり関係ない上、難易度もたいして高くないです。
【必答問題】
解答編
問題
$\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ を満たすとする。
(1) $\tan\theta=-\sqrt{3}$ のとき、 $\theta=\dBox{テ}$ であり\[ \cos\theta=\dBox{ト} \ ,\ \sin\theta=\dBox{ナ} \]である。
一般に、 $\tan\theta=k$ のとき\[ \cos\theta=\dBox{ニ} \ , \ \sin\theta=\dBox{ヌ} \]である。
$\dbox{テ}$ の解答群
0: $-\dfrac{\pi}{3}$
1: $-\dfrac{\pi}{4}$
2: $-\dfrac{\pi}{6}$
3: $\dfrac{\pi}{6}$
4: $\dfrac{\pi}{4}$
5: $\dfrac{\pi}{3}$
$\dbox{ト},\ \dbox{ナ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $0$
1: $1$
2: $-1$
3: $\dfrac{\sqrt{3} }{2}$
4: $-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$
5: $\dfrac{\sqrt{2} }{2}$
6: $-\dfrac{\sqrt{2} }{2}$
7: $\dfrac{1}{2}$
8: $-\dfrac{1}{2}$
$\dbox{ニ},\ \dbox{ヌ}$ の解答群（同じものを繰り返し選んでもよい。）
0: $\dfrac{1}{1+k^2}$
1: $-\dfrac{1}{1+k^2}$
2: $\dfrac{k}{1+k^2}$
3: $-\dfrac{k}{1+k^2}$
4: $\dfrac{2}{1+k^2}$
5: $-\dfrac{2}{1+k^2}$
6: $\dfrac{2k}{1+k^2}$
7: $-\dfrac{2k}{1+k^2}$
8: $\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$
9: $-\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$
a: $\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }$
b: $-\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }$
解説
$-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$ なので、 $\tan\theta=-\sqrt{3}$ ならば $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$ です。よって、 $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ であり、 $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$ です。
$\tan\theta=k$ の場合、相互関係から
\begin{eqnarray}
1+\tan^2\theta &=& \frac{1}{\cos^2\theta} \\[5pt]
\cos^2\theta &=& \frac{1}{1+k^2} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$ なので、 $\cos\theta\gt 0$ だから $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$ となります。同じく相互関係より
\begin{eqnarray}
\tan\theta &=& \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[5pt]
\sin\theta &=& \tan\theta\cos\theta=\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }
\end{eqnarray}となります。なお、 $\tan\theta=-\sqrt{3}$ を代入すると前半の計算に一致することが確かめられます。
解答
テ：0
トナ：74
ニ：8
ヌ：a
解答編 つづき
問題
(2) 花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。
- $-\dfrac{\pi}{2}\lt \theta \lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を動かすとき、 $\tan\theta$ のとり得る値の範囲は実数全体だよね。
- $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ だけど、分子を少し変えるとどうなるかな。
$\dfrac{\sin 2\theta}{\cos\theta}=p$, $\dfrac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{7}\right)}{\cos\theta}=q$ とおく。
$-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を動かすとき、 $p$ のとり得る値の範囲は $\dBox{ネ}$ であり、 $q$ のとり得る値の範囲は $\dBox{ノ}$ である。
$\dbox{ネ}$ の解答群
0: $-1\lt p \lt 1$
1: $0\lt p \lt 1$
2: $-2\lt p \lt 2$
3: $0\lt p \lt 2$
4: 実数全体
5: 正の実数全体
$\dbox{ノ}$ の解答群
0: $-1\lt q \lt 1$
1: $0\lt q \lt 1$
2: $-2\lt q \lt 2$
3: $0\lt q \lt 2$
4: 実数全体
5: 正の実数全体
6: $-\sin\dfrac{\pi}{7} \lt q \lt \sin\dfrac{\pi}{7}$
7: $0 \lt q \lt \sin\dfrac{\pi}{7}$
8: $-\cos\dfrac{\pi}{7} \lt q \lt \cos\dfrac{\pi}{7}$
9: $0 \lt q \lt \cos\dfrac{\pi}{7}$
解説
倍角の公式を使うと
\begin{eqnarray}
p &=& \frac{\sin2\theta}{\cos\theta} \\[5pt]
&=& \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta} \\[5pt]
&=& 2\sin\theta \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$ なので、 $p$ のとり得る範囲は $-2\lt p \lt 2$ となります。
加法定理を使うと
\begin{eqnarray}
q &=& \frac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{7}\right)}{\cos\theta} \\[5pt]
&=& \frac{\sin\theta\cos\frac{\pi}{7}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{7} }{\cos\theta} \\[5pt]
&=& \tan\theta\cos\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{7} \\[5pt]
\end{eqnarray}となります。 $\tan\theta$ は実数全体を動くので、これに $0$ でない定数を掛けて、ある定数を足した $q$ も、実数全体を動きます。
解答
ネ：2
ノ：4
解答編 つづき
問題
(3) $\alpha$ は $0\leqq \alpha\lt 2\pi$ を満たすとし\[ \frac{\sin(\theta+\alpha)}{\cos\theta}=r \]とおく。 $\alpha=\dfrac{\pi}{7}$ の場合、 $r$ は(2)で定めた $q$ と等しい。
$\alpha$ の値を一つ定め、 $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ のみを動かすとき、 $r$ のとり得る値の範囲を考える。
$r$ のとり得る値の範囲が $q$ のとり得る範囲と異なるような $\alpha\ (0\leqq \alpha\lt 2\pi)$ は $\dBox{ハ}$ 。
$\dbox{ハ}$ の解答群
0: 存在しない
1: ちょうど１個存在する
2: ちょうど２個存在する
3: ちょうど３個存在する
4: ちょうど４個存在する
5: ５個以上存在する
解説
\begin{eqnarray} r &=& \frac{\sin\left(\theta+\alpha\right)}{\cos\theta} \\[5pt] &=& \frac{\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha}{\cos\theta} \\[5pt] &=& \tan\theta\cos\alpha+\sin\alpha \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\cos\alpha$ が $0$ でなければ、 $r$ は実数全体を動きます。 $\cos\alpha=0$ なら $r=\sin\alpha$ となり、１つの値を取るだけになります。よって、 $r$ のとり得る値の範囲が $q$ のとり得る値の範囲と異なる $\alpha$ とは、 $\cos\alpha=0$ となる $\alpha$ のことであり、 $0\leqq \alpha \lt 2\pi$ の範囲では $\alpha=\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi$ の2個です。
解説
ハ：2
