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共通テスト 数学II・数学B 2022年度追試 第1問 [2] 解説

$\def\myBox#1{\bbox[2px, border:2px solid]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } }$ $\def\mybox#1{\bbox[2px, border:1px solid gray]{ \textsf{ #1 } } }$ $\def\dBox#1{\bbox[3px, border: 2px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \class{bold}{ \textsf{ #1 } } } } }$ $\def\dbox#1{\bbox[4px, border: 1px solid ]{\bbox[0px, border: 1px solid ]{ \textsf{ #1 } } } }$

【必答問題】

問題編

問題

 $\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ を満たすとする。

(1) $\tan\theta=-\sqrt{3}$ のとき、 $\theta=\dBox{テ}$ であり\[ \cos\theta=\dBox{ト} \ ,\ \sin\theta=\dBox{ナ} \]である。

 一般に、 $\tan\theta=k$ のとき\[ \cos\theta=\dBox{ニ} \ , \ \sin\theta=\dBox{ヌ} \]である。

 $\dbox{テ}$ の解答群

 0: $-\dfrac{\pi}{3}$

 1: $-\dfrac{\pi}{4}$

 2: $-\dfrac{\pi}{6}$

 3: $\dfrac{\pi}{6}$

 4: $\dfrac{\pi}{4}$

 5: $\dfrac{\pi}{3}$

 $\dbox{ト},\ \dbox{ナ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$

 1: $1$

 2: $-1$

 3: $\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

 4: $-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

 5: $\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

 6: $-\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

 7: $\dfrac{1}{2}$

 8: $-\dfrac{1}{2}$

 $\dbox{ニ},\ \dbox{ヌ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\dfrac{1}{1+k^2}$

 1: $-\dfrac{1}{1+k^2}$

 2: $\dfrac{k}{1+k^2}$

 3: $-\dfrac{k}{1+k^2}$

 4: $\dfrac{2}{1+k^2}$

 5: $-\dfrac{2}{1+k^2}$

 6: $\dfrac{2k}{1+k^2}$

 7: $-\dfrac{2k}{1+k^2}$

 8: $\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$

 9: $-\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$

 a: $\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }$

 b: $-\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }$

(2) 花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。

花子: $-\dfrac{\pi}{2}\lt \theta \lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を動かすとき、 $\tan\theta$ のとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎: $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ だけど、分子を少し変えるとどうなるかな。

 $\dfrac{\sin 2\theta}{\cos\theta}=p$, $\dfrac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{7}\right)}{\cos\theta}=q$ とおく。

 $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を動かすとき、 $p$ のとり得る値の範囲は $\dBox{ネ}$ であり、 $q$ のとり得る値の範囲は $\dBox{ノ}$ である。

 $\dbox{ネ}$ の解答群

 0: $-1\lt p \lt 1$

 1: $0\lt p \lt 1$

 2: $-2\lt p \lt 2$

 3: $0\lt p \lt 2$

 4: 実数全体

 5: 正の実数全体

 $\dbox{ノ}$ の解答群

 0: $-1\lt q \lt 1$

 1: $0\lt q \lt 1$

 2: $-2\lt q \lt 2$

 3: $0\lt q \lt 2$

 4: 実数全体

 5: 正の実数全体

 6: $-\sin\dfrac{\pi}{7} \lt q \lt \sin\dfrac{\pi}{7}$

 7: $0 \lt q \lt \sin\dfrac{\pi}{7}$

 8: $-\cos\dfrac{\pi}{7} \lt q \lt \cos\dfrac{\pi}{7}$

 9: $0 \lt q \lt \cos\dfrac{\pi}{7}$

(3) $\alpha$ は $0\leqq \alpha\lt 2\pi$ を満たすとし\[ \frac{\sin(\theta+\alpha)}{\cos\theta}=r \]とおく。 $\alpha=\dfrac{\pi}{7}$ の場合、 $r$ は(2)で定めた $q$ と等しい。

 $\alpha$ の値を一つ定め、 $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ のみを動かすとき、 $r$ のとり得る値の範囲を考える。

 $r$ のとり得る値の範囲が $q$ のとり得る範囲と異なるような $\alpha\ (0\leqq \alpha\lt 2\pi)$ は $\dBox{ハ}$ 。

 $\dbox{ハ}$ の解答群

 0: 存在しない

 1: ちょうど1個存在する

 2: ちょうど2個存在する

 3: ちょうど3個存在する

 4: ちょうど4個存在する

 5: 5個以上存在する

考え方

(1)は、三角関数の基本的な問題です。(2)は、三角関数で学ぶ公式を使って変形する問題です。

(3)も、公式を使って変形する問題です。変形した後に考えないといけないことはありますが、三角関数とはあまり関係ない上、難易度もたいして高くないです。


【必答問題】

解答編

問題

 $\theta$ は $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ を満たすとする。

(1) $\tan\theta=-\sqrt{3}$ のとき、 $\theta=\dBox{テ}$ であり\[ \cos\theta=\dBox{ト} \ ,\ \sin\theta=\dBox{ナ} \]である。

 一般に、 $\tan\theta=k$ のとき\[ \cos\theta=\dBox{ニ} \ , \ \sin\theta=\dBox{ヌ} \]である。

 $\dbox{テ}$ の解答群

 0: $-\dfrac{\pi}{3}$

 1: $-\dfrac{\pi}{4}$

 2: $-\dfrac{\pi}{6}$

 3: $\dfrac{\pi}{6}$

 4: $\dfrac{\pi}{4}$

 5: $\dfrac{\pi}{3}$

 $\dbox{ト},\ \dbox{ナ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $0$

 1: $1$

 2: $-1$

 3: $\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

 4: $-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

 5: $\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

 6: $-\dfrac{\sqrt{2} }{2}$

 7: $\dfrac{1}{2}$

 8: $-\dfrac{1}{2}$

 $\dbox{ニ},\ \dbox{ヌ}$ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)

 0: $\dfrac{1}{1+k^2}$

 1: $-\dfrac{1}{1+k^2}$

 2: $\dfrac{k}{1+k^2}$

 3: $-\dfrac{k}{1+k^2}$

 4: $\dfrac{2}{1+k^2}$

 5: $-\dfrac{2}{1+k^2}$

 6: $\dfrac{2k}{1+k^2}$

 7: $-\dfrac{2k}{1+k^2}$

 8: $\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$

 9: $-\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$

 a: $\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }$

 b: $-\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} }$

解説

$-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$ なので、 $\tan\theta=-\sqrt{3}$ ならば $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$ です。よって、 $\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ であり、 $\sin\theta=-\dfrac{\sqrt{3} }{2}$ です。

$\tan\theta=k$ の場合、相互関係から
\begin{eqnarray} 1+\tan^2\theta &=& \frac{1}{\cos^2\theta} \\[5pt] \cos^2\theta &=& \frac{1}{1+k^2} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$ なので、 $\cos\theta\gt 0$ だから $\cos\theta=\dfrac{1}{\sqrt{1+k^2} }$ となります。同じく相互関係より \begin{eqnarray} \tan\theta &=& \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[5pt] \sin\theta &=& \tan\theta\cos\theta=\dfrac{k}{\sqrt{1+k^2} } \end{eqnarray}となります。なお、 $\tan\theta=-\sqrt{3}$ を代入すると前半の計算に一致することが確かめられます。

解答

テ:0
トナ:74
ニ:8
ヌ:a

解答編 つづき

問題

(2) 花子さんと太郎さんは、関数のとり得る値の範囲について話している。

花子: $-\dfrac{\pi}{2}\lt \theta \lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を動かすとき、 $\tan\theta$ のとり得る値の範囲は実数全体だよね。
太郎: $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ だけど、分子を少し変えるとどうなるかな。

 $\dfrac{\sin 2\theta}{\cos\theta}=p$, $\dfrac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{7}\right)}{\cos\theta}=q$ とおく。

 $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ を動かすとき、 $p$ のとり得る値の範囲は $\dBox{ネ}$ であり、 $q$ のとり得る値の範囲は $\dBox{ノ}$ である。

 $\dbox{ネ}$ の解答群

 0: $-1\lt p \lt 1$

 1: $0\lt p \lt 1$

 2: $-2\lt p \lt 2$

 3: $0\lt p \lt 2$

 4: 実数全体

 5: 正の実数全体

 $\dbox{ノ}$ の解答群

 0: $-1\lt q \lt 1$

 1: $0\lt q \lt 1$

 2: $-2\lt q \lt 2$

 3: $0\lt q \lt 2$

 4: 実数全体

 5: 正の実数全体

 6: $-\sin\dfrac{\pi}{7} \lt q \lt \sin\dfrac{\pi}{7}$

 7: $0 \lt q \lt \sin\dfrac{\pi}{7}$

 8: $-\cos\dfrac{\pi}{7} \lt q \lt \cos\dfrac{\pi}{7}$

 9: $0 \lt q \lt \cos\dfrac{\pi}{7}$

解説

倍角の公式を使うと
\begin{eqnarray} p &=& \frac{\sin2\theta}{\cos\theta} \\[5pt] &=& \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\cos\theta} \\[5pt] &=& 2\sin\theta \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $-\dfrac{\pi}{2} \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}$ なので、 $p$ のとり得る範囲は $-2\lt p \lt 2$ となります。

加法定理を使うと
\begin{eqnarray} q &=& \frac{\sin\left(\theta+\frac{\pi}{7}\right)}{\cos\theta} \\[5pt] &=& \frac{\sin\theta\cos\frac{\pi}{7}+\cos\theta\sin\frac{\pi}{7} }{\cos\theta} \\[5pt] &=& \tan\theta\cos\frac{\pi}{7}+\sin\frac{\pi}{7} \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\tan\theta$ は実数全体を動くので、これに $0$ でない定数を掛けて、ある定数を足した $q$ も、実数全体を動きます。

解答

ネ:2
ノ:4

解答編 つづき

問題

(3) $\alpha$ は $0\leqq \alpha\lt 2\pi$ を満たすとし\[ \frac{\sin(\theta+\alpha)}{\cos\theta}=r \]とおく。 $\alpha=\dfrac{\pi}{7}$ の場合、 $r$ は(2)で定めた $q$ と等しい。

 $\alpha$ の値を一つ定め、 $-\dfrac{\pi}{2}\lt\theta\lt\dfrac{\pi}{2}$ の範囲で $\theta$ のみを動かすとき、 $r$ のとり得る値の範囲を考える。

 $r$ のとり得る値の範囲が $q$ のとり得る範囲と異なるような $\alpha\ (0\leqq \alpha\lt 2\pi)$ は $\dBox{ハ}$ 。

 $\dbox{ハ}$ の解答群

 0: 存在しない

 1: ちょうど1個存在する

 2: ちょうど2個存在する

 3: ちょうど3個存在する

 4: ちょうど4個存在する

 5: 5個以上存在する

解説

\begin{eqnarray} r &=& \frac{\sin\left(\theta+\alpha\right)}{\cos\theta} \\[5pt] &=& \frac{\sin\theta\cos\alpha+\cos\theta\sin\alpha}{\cos\theta} \\[5pt] &=& \tan\theta\cos\alpha+\sin\alpha \\[5pt] \end{eqnarray}となります。 $\cos\alpha$ が $0$ でなければ、 $r$ は実数全体を動きます。 $\cos\alpha=0$ なら $r=\sin\alpha$ となり、1つの値を取るだけになります。

よって、 $r$ のとり得る値の範囲が $q$ のとり得る値の範囲と異なる $\alpha$ とは、 $\cos\alpha=0$ となる $\alpha$ のことであり、 $0\leqq \alpha \lt 2\pi$ の範囲では $\alpha=\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3}{2}\pi$ の2個です。

解説

ハ:2

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