京都大学 理学部特色入試 2017年度 第2問 解説

(2016年11月に行われた特色入試の問題です。2017年に行われた特色入試の問題はこちら

問題編

問題

 n を自然数とする。実数 $a_n$ を\[ a_n = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \frac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}dx \]で定める。
 以下の設問に答えよ。
(1) $a_1$ と $a_2$ を求めよ。
(2) すべての自然数 n に対し、 $a_n$ は正の有理数であることを示せ。さらに、 $a_n$ を互いに素な自然数 $b_n$ と $c_n$ を用いて $\displaystyle a_n=\frac{c_n}{b_n}$ と表すとき、 $b_n$ は奇数であることを示せ。

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(2021年09月 時点の情報です)

考え方

(1)で $n=1, 2$ のときを求めるので、(2)では数学的帰納法を使う、と見せかけています。特に使わなくてもいけるでしょう。

別の変数で置き換えれば、積分区間の数字がきれいに設定されていることもわかります。

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