京都大学 理系 2014年度 第5問 解説

問題編

問題

 自然数 a, b はどちらも3で割り切れないが、 $a^3+b^3$ は81で割り切れる。このような a, b の組 $(a,b)$ のうち、 $a^2+b^2$ の値を最小にするものと、そのときの $a^2+b^2$ の値を求めよ。

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考え方

「3で割り切れないなら、3で割った余りはどうなるんだろう」「81で割り切れるためには、どういう条件が必要だろう」といったところから攻めていきましょう。「割り切れる」という条件なので、 $a^3+b^3$ を因数分解したり、掛け算を使った式変形をして、 a, b に関する条件を絞っていきましょう。

$a+b$ に関する条件が導ければ、あとは二次関数の最小値を求める問題です。