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京都大学 理系 2014年度 第1問 解説

問題編

問題

 座標空間における次の3つの直線 l, m, n を考える。

 l は点 $\mathrm{ A }(1,0,-2)$ を通り、ベクトル $\vec{ u } = (2,1,-1)$ に平行な直線である。
 m は点 $\mathrm{ B }(1,2,-3)$ を通り、ベクトル $\vec{ v } = (1,-1,1)$ に平行な直線である。
 n は点 $\mathrm{ C }(1,-1,0)$ を通り、ベクトル $\vec{ w } = (1,2,1)$ に平行な直線である。

Pl 上の点として、 P から m, n へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q, R とする。このとき、 $\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ を最小にするような P と、そのときの $\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ を求めよ。

考え方

P, Q, R と3つの点がありますが、 P を決めると他の2点の座標は決まります。 PQ と直線 m が垂直に交わることを、「内積が0」と言い換えて、条件式を作ります。 PR についても同様です。

$\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ を二次関数の式で置き換えれば、あとはこれの最小値を求める問題となります。が、式ができれば最小値はすぐにわかってしまいます。

空間ベクトルだし、見た目はめんどくさそうですが、解いてみるとかなりあっさりしています。逆に、後半があっさりしすぎていて、途中で計算間違いをしているんじゃないか、と不安になってくるレベルです。


解答編

問題

 座標空間における次の3つの直線 l, m, n を考える。

 l は点 $\mathrm{ A }(1,0,-2)$ を通り、ベクトル $\vec{ u } = (2,1,-1)$ に平行な直線である。
 m は点 $\mathrm{ B }(1,2,-3)$ を通り、ベクトル $\vec{ v } = (1,-1,1)$ に平行な直線である。
 n は点 $\mathrm{ C }(1,-1,0)$ を通り、ベクトル $\vec{ w } = (1,2,1)$ に平行な直線である。

Pl 上の点として、 P から m, n へ下ろした垂線の足をそれぞれ Q, R とする。このとき、 $\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ を最小にするような P と、そのときの $\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ を求めよ。

解答

P, Q, R の座標は、実数 p, q, r を使って、次のように書ける。
 $\mathrm{ P }(1+2p,p,-2-p)$, $\mathrm{ Q }(1+q,2-q,-3+q)$, $\mathrm{ R }(1+r,-1+2r,r)$

$\overrightarrow{ \mathrm{ PQ } }$ と直線 $\vec{v}$ は垂直に交わるので
\begin{eqnarray} \{ (1+q,2-q,-3+q)-(1+2p,p,-2-p) \} \cdot (1,-1,1) &=& 0 \\ (-2p+q,-p-q+2,p+q-1) \cdot (1,-1,1) &=& 0 \\ (-2p+q)-(-p-q+2)+(p+q-1) &=& 0 \\ 3q-3 &=& 0 \\ q &=& 1 \\ \end{eqnarray}が得られる。

また、 $\overrightarrow{ \mathrm{ PR } }$ と直線 $\vec{w}$ は垂直に交わるので
\begin{eqnarray} \{ (1+r,-1+2r,r)-(1+2p,p,-2-p) \} \cdot (1,2,1) &=& 0 \\ (-2p+r,-p+2r-1,p+r+2) \cdot (1,2,1) &=& 0 \\ (-2p+r)+2(-p+2r-1)+(p+r+2) &=& 0 \\ -3p+6r &=& 0 \\ p &=& 2r \\ \end{eqnarray}が得られる。

これらの結果から
\begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ PQ } } &=& (-2p+q,-p-q+2,p+q-1) \\ &=& (-2\cdot 2r +1, -2r-1+2, 2r+1-1) \\ &=& (-4r+1, -2r+1,2r) \\ \end{eqnarray}と \begin{eqnarray} \overrightarrow{ \mathrm{ PR } } &=& (-2p+r,-p+2r-1,p+r+2) \\ &=& (-2\cdot 2r +r,-2r+2r-1,2r+r+2) \\ &=& (-3r,-1,3r+2) \\ \end{eqnarray}が得られるので、 \begin{eqnarray} & & \mathrm{ PQ }^2+\mathrm{ PR }^2 \\[5pt] &=& (-4r+1)^2+(-2r+1)^2+(2r)^2 \\ & & +(-3r)^2+(-1)^2+(3r+2)^2 \\[5pt] &=& 16r^2 -8r +1 +4r^2 -4r+1+4r^2 \\ & & +9r^2+1+9r^2+12r+4 \\[5pt] &=& 42r^2 +7 \end{eqnarray}となる。よって、最小値は $7$ である。また、最小になるのは $r=0$ のときで、そのとき $p=2r=0$ なので、このときの P の座標は \begin{eqnarray} (1+2p,p,-2-p)=(1,0,-2) \end{eqnarray}である。

よって、 P が $(1,0,-2)$ のとき、 $\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ は最小値 $7$ をとる。
(終)

解説

P, Q, R と3つの点が出てきますが、 P を固定すると後の2点は決まるのだから、変数は1つだけになります。「垂線」を「内積が0」に言い換えて、条件式を作りましょう。

$\mathrm{ PQ }^2 +\mathrm{ PR }^2$ は1変数の二次関数で書くことができます。この最小値はすぐにわかるので、二次関数で書けさえすれば、答えはすぐにわかります。

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