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京都大学 文系 2021年度 第4問 解説

問題編

問題

 空間の8点
  $\mathrm{ O }(0,0,0)$, $\mathrm{ A }(1,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,2,0)$, $\mathrm{ C }(0,2,0)$,
  $\mathrm{ D }(0,0,3)$, $\mathrm{ E }(1,0,3)$, $\mathrm{ F }(1,2,3)$, $\mathrm{ G }(0,2,3)$
を頂点とする直方体 OABC-DEFGを考える。点 O, 点 F, 辺 AE 上の点 P, および辺 CG 上の点 Q の4点が同一平面上にあるとする。このとき、四角形 OPFQ の面積 $S$ を最小にするような点 P および点 Q の座標を求めよ。また、そのときの $S$ の値を求めよ。

考え方

空間なので少し考えづらいですが、出てくる図形は直方体だけなのでそんなにしんどくはありません。 P, Q の座標を文字で置いて、それらがどんな関係式を満たすかを考え、それらで面積を表しましょう。


解答編

問題

 空間の8点
  $\mathrm{ O }(0,0,0)$, $\mathrm{ A }(1,0,0)$, $\mathrm{ B }(1,2,0)$, $\mathrm{ C }(0,2,0)$,
  $\mathrm{ D }(0,0,3)$, $\mathrm{ E }(1,0,3)$, $\mathrm{ F }(1,2,3)$, $\mathrm{ G }(0,2,3)$
を頂点とする直方体 OABC-DEFGを考える。点 O, 点 F, 辺 AE 上の点 P, および辺 CG 上の点 Q の4点が同一平面上にあるとする。このとき、四角形 OPFQ の面積 $S$ を最小にするような点 P および点 Q の座標を求めよ。また、そのときの $S$ の値を求めよ。

解答例

P, Q の座標は、それぞれ、 $(1,0,p)$, $(0,2,q)$ と書ける( $0\leqq p,q\leqq 3$ )。

ここで、4点 O,P,F,Q は同一平面上にあるので、ある $s,t$ を用いて\[ \overrightarrow{ \mathrm{ OF } } =s\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }+t\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } } \]と表すことができる。成分で表すと\[ (1,2,3)=s(1,0,p)+t(0,2,q) \]なので、 $t=1$, $s=1$ となることから、 $p+q=3$ を満たすことがわかる。

また、\[ \overrightarrow{ \mathrm{ QF } }=(1,2,3)-(0,2,3-p)=(1,0,p)=\overrightarrow{ \mathrm{ OP } } \]だから、四角形 OPFQ は平行四辺形である。なので、 $S$ は三角形 OPQ の面積の2倍なので
\begin{eqnarray} S &=& \sqrt{\left|\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\right|^2 \left|\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }\right|^2 -\left(\overrightarrow{ \mathrm{ OP } }\cdot\overrightarrow{ \mathrm{ OQ } }\right)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{(1+p^2)(4+q^2) -(pq)^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4p^2+q^2+4} \\[5pt] &=& \sqrt{4p^2+(3-p)^2+4} \\[5pt] &=& \sqrt{5p^2-6p+13} \\[5pt] &=& \sqrt{5\left(p-\dfrac{3}{5}\right)^2+\frac{56}{5} } \\[5pt] \end{eqnarray}と表すことができるので、 $S$ は $p=\dfrac{3}{5}$ のときに最小値 $\dfrac{2\sqrt{70} }{5}$ をとる。このとき、 P, Q の座標は、それぞれ、 $\left(1,0,\dfrac{3}{5}\right)$, $\left(0,2,\dfrac{12}{5}\right)$ である。

(終)

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