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京都大学 文系 2021年度 第3問 解説

問題編

問題

 $n$ を $2$ 以上の整数とする。 $1$ から $n$ までの番号が付いた $n$ 個の箱があり、それぞれの箱には赤玉と白玉が1個ずつ入っている。このとき操作(*)を $k=1,\cdots, n-1$ に対して、 $k$ が小さい方から順に1回ずつ行う。

 (*)番号 $k$ の箱から玉を1個取り出し、番号 $k+1$ の箱に入れてよくかきまぜる。

 一連の操作がすべて終了した後、番号 $n$ の箱から玉を1個取り出し、番号 $1$ の箱に入れる。このとき番号 $1$ の箱に赤玉と白球が1個ずつ入っている確率を求めよ。

考え方

2回目以降、箱から玉を取り出す直前の箱の中は、赤2つ白1つか、赤1つ白2つの場合しかありません。このような「 $n$ 回の操作を行ったときの、何かの確率を求める問題」でよく使う典型的な手法を、この問題でも使います。


解答編

問題

 $n$ を $2$ 以上の整数とする。 $1$ から $n$ までの番号が付いた $n$ 個の箱があり、それぞれの箱には赤玉と白玉が1個ずつ入っている。このとき操作(*)を $k=1,\cdots, n-1$ に対して、 $k$ が小さい方から順に1回ずつ行う。

 (*)番号 $k$ の箱から玉を1個取り出し、番号 $k+1$ の箱に入れてよくかきまぜる。

 一連の操作がすべて終了した後、番号 $n$ の箱から玉を1個取り出し、番号 $1$ の箱に入れる。このとき番号 $1$ の箱に赤玉と白球が1個ずつ入っている確率を求めよ。

解答例

箱 $k$ から取り出した玉の色を $c_k$ とする。また、 $c_k=c_1$ となる確率を $p_k$ で表す。求める確率は $p_n$ である。

$p_1=1$ である。また、 $c_k=c_1$ のとき、箱 $k+1$ から玉を取り出す直前には、 $c_1$ と同じ色の玉が2つと $c_1$ 以外の色の玉が1つ入っていて、 $c_k\ne c_1$ のときは $c_1$ と同じ色の玉が1つと $c_1$ 以外の色の玉が2つ入っているので、 $k=1,2,\cdots, N-1$ に対して
\begin{eqnarray} p_{k+1} &=& \frac{2}{3}p_k+\frac{1}{3}(1-p_k) \\[5pt] &=& \frac{1}{3}p_k+\frac{1}{3} \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つ。 $\alpha=\dfrac{\alpha}{3}+\dfrac{1}{3}$ とすると $\alpha=\dfrac{1}{2}$ なので \begin{eqnarray} p_{k+1}-\frac{1}{2} &=& \frac{1}{3} \left(p_{k+1}-\frac{1}{2}\right) \end{eqnarray}が成り立つ。これより \begin{eqnarray} p_n &=& \frac{1}{3^{n-1} }\left(p_1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2\cdot3^{n-1} }+\frac{1}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}が求める確率である。

(終)

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