京都大学 文系 2021年度 第2問 解説

問題編

問題

　定積分 $\displaystyle \int_{-1}^1 \left| x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \right|dx$ を求めよ。

考え方

絶対値を含んだ定積分の計算問題です。特にひねりもないので、この問題は落とせません。

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解答編

問題

　定積分 $\displaystyle \int_{-1}^1 \left| x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \right|dx$ を求めよ。

解答例

\begin{eqnarray} & & x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}(2x^2-x-1) \\[5pt] &=& \frac{1}{2}(2x+1)(x-1) \\[5pt] \end{eqnarray}だから \begin{eqnarray} & & \int_{-1}^1 \left| x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \right|dx \\[5pt] &=& \int_{-1}^{-1/2} \left( x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \right)dx -\int_{-1/2}^{1} \left( x^2-\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2} \right)dx \\[5pt] &=& \left[ \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2} \right]_{-1}^{-1/2} -\left[ \frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{4}-\frac{x}{2} \right]_{-1/2}^{1} \\[5pt] &=& \left( -\frac{1}{24}-\frac{1}{16}+\frac{1}{4} \right) -\left( -\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \right) \\ & & -\left( \frac{1}{3}-\frac{1}{4}-\frac{1}{2} \right) +\left( -\frac{1}{24}-\frac{1}{16}+\frac{1}{4} \right) \\[5pt] &=& \frac{-2-3+12}{48} -\frac{-4-3+6}{12} -\frac{4-3-6}{12} +\frac{-2-3+12}{48}\\[5pt] &=& \frac{7}{48} +\frac{1}{12} +\frac{5}{12} +\frac{7}{48}\\[5pt] &=& \frac{7+4+20+7}{48} \\[5pt] &=& \frac{19}{24} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められる。

（終）