京都大学文系 2017年度第4問解説

🕒 2017/02/27 🔄 2023/05/01

問題編

問題

　p, q を自然数、 $\alpha, \beta$ を\[ \tan\alpha=\frac{1}{p},\ \tan \beta =\frac{1}{q} \] を満たす実数とする。このとき、次の問に答えよ。

(1) 次の条件\[ (\mathrm{ A }) \quad \tan(\alpha+2\beta)=2 \]を満たす p, q の組 $(p,q)$ のうち、 $q\leqq 3$ であるものをすべて求めよ。

(2) 条件 $(\mathrm{ A })$ を満たす p, q の組 $(p,q)$ で、 $q\gt 3$ であるものは存在しないことを示せ。

考え方

(1)は、加法定理と倍角の公式を使って条件を求めていきます。すべて変形してから最後に値を代入すると大変なので、少しずつ変形と代入を繰り返す方がいいでしょう。

(2)は、 p, q が大きくなると、条件を満たすことが難しいということに気づきましょう。一般的な計算をしなくても、特殊な条件だけを考えるだけでOKなことがわかります。

なお、この問題は、理系第3問の類題です。理系の問題では、誘導がありません。

解答編

問題

　p, q を自然数、 $\alpha, \beta$ を\[ \tan\alpha=\frac{1}{p},\ \tan \beta =\frac{1}{q} \] を満たす実数とする。このとき、次の問に答えよ。

(1) 次の条件\[ (\mathrm{ A }) \quad \tan(\alpha+2\beta)=2 \]を満たす p, q の組 $(p,q)$ のうち、 $q\leqq 3$ であるものをすべて求めよ。

(2) 条件 $(\mathrm{ A })$ を満たす p, q の組 $(p,q)$ で、 $q\gt 3$ であるものは存在しないことを示せ。

解答

$\tan\alpha, \tan\beta \gt 0$ より $\alpha, \beta$ に対し、\[ \alpha=\alpha'+n\pi,\ \beta=\beta'+m\pi \]をみたす、 $0\lt \alpha',\beta' \lt \dfrac{\pi}{2}$ と整数 n, m が存在する。このとき
\begin{eqnarray} \tan(\alpha+2\beta) &=& \tan(\alpha' +n\pi +2\beta'+2m\pi) \\ &=& \tan(\alpha'+2\beta') \\ \end{eqnarray}なので、以下では、 $\alpha',\beta'$ を $\alpha,\beta$ ととらえなおすことにより、 $0\lt \alpha,\beta \lt \dfrac{\pi}{2}$ としてよい。

さらに、 $\tan\alpha, \tan\beta \leqq 1$ より、 $0\lt \alpha,\beta \leqq \dfrac{\pi}{4}$ が得られる。これより $0\lt \alpha+2\beta \leqq \dfrac{3}{4}\pi$ であり、条件 $(\mathrm{ A })$ を考えるもとでは $0\lt \alpha+2\beta \lt \dfrac{1}{2}\pi$ が成り立つ。

(1)
$0\lt \alpha+2\beta \lt \dfrac{1}{2}\pi$ より、 $0\lt \beta \lt \dfrac{1}{4}\pi$ だから、 $q\leqq 3$ なら $q=2,3$ の場合を考えるだけでよい。

ここで
\begin{eqnarray} \tan 2\beta &=& \frac{2\tan\beta}{1-\tan^2\beta} \\[5pt] &=& \frac{2\cdot\frac{1}{q} }{1-\frac{1}{q^2} } \\[5pt] &=& \frac{2q}{q^2-1} \\[5pt] \end{eqnarray}なので、 $q=2$ のときは $\tan 2\beta=\dfrac{4}{3}$, $q=3$ のときは $\tan 2\beta=\dfrac{3}{4}$ であることがわかる。

また、
\begin{eqnarray} \tan(\alpha+2\beta) &=& \frac{\tan\alpha +\tan2\beta}{1-\tan\alpha \tan2\beta} \\[5pt] &=& \frac{\frac{1}{p} +\tan2\beta}{1-\frac{1}{p} \cdot \tan2\beta} \\[5pt] &=& \frac{1 +p\tan2\beta}{p-\tan2\beta} \\[5pt] \end{eqnarray}と変形できる。これが2となる条件は \begin{eqnarray} 2 &=& \frac{1 +p\tan2\beta}{p-\tan2\beta} \\[5pt] 2(p-\tan2\beta) &=& 1 +p\tan2\beta \\[5pt] p(2-\tan2\beta) &=& 2\tan2\beta+1 \\[5pt] \end{eqnarray}が成り立つことと同値である。 $q=2$ のとき $\tan 2\beta=\dfrac{4}{3}$ なので、この式から \begin{eqnarray} p\left(2-\frac{4}{3}\right) &=& 2\cdot \frac{4}{3}+1 \\[5pt] \frac{2}{3}p &=& \frac{11}{3} \\[5pt] p &=& \frac{11}{2} \\[5pt] \end{eqnarray}となり、自然数ではないから、これは条件を満たさない。一方、 $q=3$ のときは $\tan 2\beta=\dfrac{3}{4}$ なので \begin{eqnarray} p\left(2-\frac{3}{4}\right) &=& 2\cdot \frac{3}{4}+1 \\[5pt] \frac{5}{4}p &=& \frac{5}{2} \\[5pt] p &=& 2 \\[5pt] \end{eqnarray}となり、条件を満たす。

以上から、求める組は、 $(p,q)=(2,3)$ となる。

(2)
$q\gt 3$ つまり $q\geqq 4$ の条件下で考える。

この範囲で p が一番大きくなる時を考える。これは $\tan\alpha=\dfrac{1}{p}$ だから $\alpha$ が一番小さくなるときである。また、 $\tan(\alpha+2\beta)$ が一定なので、これは $\beta$ が一番大きくなる時でもあり、 $\tan\beta=\dfrac{1}{q}$ から、 q が一番小さくなる時でもある。今考えている範囲では、これは $q=4$ のときである。

(1)で求めた通り\[ \tan 2\beta = \frac{2q}{q^2-1}\]なので、 $q=4$ とすると\[ \tan 2\beta = \frac{8}{15} \]が得られる。また、同じく(1)で求めた通り、$(\mathrm{ A })$ が成り立つなら\[ p(2-\tan2\beta) = 2\tan2\beta+1 \]が成り立つので、このときの p は
\begin{eqnarray} p\left(2-\frac{8}{15}\right) &=& 2\cdot \frac{8}{15}+1 \\[5pt] \frac{22}{15}p &=& \frac{31}{15} \\[5pt] p &=& \frac{31}{22} \\[5pt] \end{eqnarray}となる。よって、 p は最大でも $\dfrac{31}{22}$ なので、条件 $(\mathrm{ A })$ を満たす自然数 p があるとしたら、 $p=1$ しかない。

このとき $p=1$ として q を求めると
\begin{eqnarray} p(2-\tan2\beta) &=& 2\tan2\beta+1 \\[5pt] 1-3\tan2\beta &=& 0 \\[5pt] 1-3 \cdot \frac{2q}{q^2-1} &=& 0 \\[5pt] q^2-6q-1 &=& 0 \\[5pt] q &=& 3\pm\sqrt{10} \end{eqnarray}なので、条件を満たす $p,q$ は存在しないことがわかる。

（終）