京都大学文系 2017年度第1問解説

🕒 2017/02/27 🔄 2023/05/01

問題編

問題

　曲線 $y=x^3-4x+1$ を C とする。直線 l は C の接線であり、点 $\mathrm{ P }(3,0)$ を通るものとする。また、 l の傾きは負であるとする。このとき、 C と l で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

考え方

接線が点 $(3,0)$ を通るという条件から、接点の候補は3つ出てきます。接線の傾きが負になることから1つにしぼることができます。接線がわかれば、あとは積分するだけです。

条件を1つ1つ考えていきましょう。

解答編

問題

　曲線 $y=x^3-4x+1$ を C とする。直線 l は C の接線であり、点 $\mathrm{ P }(3,0)$ を通るものとする。また、 l の傾きは負であるとする。このとき、 C と l で囲まれた部分の面積 S を求めよ。

解答

$f(x)=x^3-4x+1$ とし、直線 l と C との接点を $(t,f(t))$ とする。このとき\[ f'(x)=3x^2-4 \]なので、直線 l の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& (3t^2-4)(x-t)+t^3-4t+1 \\ &=& (3t^2-4)x -3t^3+4t+t^3-4t+1 \\ &=& (3t^2-4)x -2t^3+1 \\ \end{eqnarray}となる。これが点 $(3,0)$ を通るので、 \begin{eqnarray} (3t^2-4)\cdot 3 -2t^3+1 &=& 0 \\ 9t^2-12 -2t^3+1 &=& 0 \\ 2t^3 -9t^2 +11 &=& 0 \\ (t+1)(2t^2-11t+11) &=& 0 \\ t &=& -1, \frac{11 \pm \sqrt{33} }{4} \end{eqnarray}が成り立つ。

ここで、 l の傾き $3t^2-4$ が負なので\[ -\frac{2}{\sqrt{3} } \lt t \lt \frac{2}{\sqrt{3} } \]を満たす必要がある。上の解のうち、 $t=-1$ がこれを満たすことはわかる。また、
\begin{eqnarray} \frac{11 - \sqrt{33} }{4} & \gt & \frac{11 - \sqrt{36} }{4} \\[5pt] & = & \frac{5}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}であり、 \begin{eqnarray} \left(\frac{5}{4}\right)^2 -\left(\frac{2}{\sqrt{3} }\right)^2 &=& \frac{25}{16}-\frac{4}{3} \\[5pt] &=& \frac{75-64}{48} \\[5pt] &\gt& 0 \end{eqnarray}なので、他の解は $\dfrac{2}{\sqrt{3} }$ より大きいため、「傾きが負」という条件を満たさない。

以上から、 $t=-1$ であることがわかり、接線の方程式は
\begin{eqnarray} y &=& (3t^2-4)x -2t^3+1 \\ &=& -x+3 \\ \end{eqnarray}となることがわかる。

また、この接線と曲線との共有点の x 座標は
\begin{eqnarray} x^3-4x+1 &=& -x+3 \\ x^3-3x-2 &=& 0 \\ (x+1)(x^2-x-2) &=& 0 \\ (x+1)^2(x-2) &=& 0 \\ \end{eqnarray}から、 $x=-1,2$ であることがわかる。

求める面積は、\[ y = x^3-3x-2 = (x+1)^2(x-2)\]と x 軸で囲まれた部分の面積に等しい。このグラフは $x=-1$ で x 軸と接し、 $x=2$ で x 軸と交わることから、囲まれた部分は x 軸より下にあることがわかる。よって
\begin{eqnarray} S &=& -\int_{-1}^2 (x^3-3x-2) dx \\[5pt] &=& -\left[ \frac{1}{4}x^4 -\frac{3}{2}x^2-2x \right]_{-1}^2 \\[5pt] &=& -(4-6-4) +\left(\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+2\right) \\[5pt] &=& 6 +\frac{3}{4} \\[5pt] &=& \frac{27}{4} \\[5pt] \end{eqnarray}と求められる。

（終）