京都大学 文系 2006年度後期 第4問 解説
問題編
【問題】
nを自然数とし、xy平面の次の領域\[ D_n = \left\{ \frac{x}{n+\frac{1}{2} } \leqq y \leqq [x+1]-x,\quad x\geqq 0 \right\} \]を考える。ただし、記号$[x]$はxより大きくない最大の整数を表すものとする。
このとき$D_n$の面積を求めよ。
【考え方】
[ ]はガウス記号と言いますが、このガウス記号がついたままだと考えにくいのでこれを外すことをまず考えます。kが整数のとき、$k \leqq x \lt k+1$という範囲で考えれば$[x]=k$となるので、こういう範囲で区切ってから考えます。少し考えれば、三角形の面積を出せばいいことがわかります。
求める面積は、各区間で区切ったものを足し合わせればいいので、最終的には2乗の和などの公式を使って解くことになります。
この年で一番難しい問題です。
解答編
【問題】
nを自然数とし、xy平面の次の領域\[ D_n = \left\{ \frac{x}{n+\frac{1}{2} } \leqq y \leqq [x+1]-x,\quad x\geqq 0 \right\} \]を考える。ただし、記号$[x]$はxより大きくない最大の整数を表すものとする。
このとき$D_n$の面積を求めよ。
【解答】
kを0以上の整数とし、$k\leqq x \lt k+1$の範囲で$D_n$を考える。
このとき、$[x+1]-x = k+1-x$であり、$x=k$のとき$[x+1]-x = 1$となる。よって、この範囲では、$y=[x+1]-x$は、$(k,1)$と$(k+1,0)$を結んだ線分になる。
$\displaystyle \frac{k}{n+\frac{1}{2} } \leqq 1$のとき、つまり$k\leqq n+\frac{1}{2}$のときは、$y = [x+1]-x$ と $y=\frac{x}{n+\frac{1}{2} }$が交わり、$k\gt n+\frac{1}{2}$のときは交わらない。よって、$D_n$の面積が正であるのは、$k\leqq n$のときであることがわかる。
$y = [x+1]-x=k+1-x$ と $y=\frac{x}{n+\frac{1}{2} }$の交点のx座標は
\begin{eqnarray}
k+1-x &=& \frac{x}{n+\frac{1}{2} } \\[5pt]
k+1 &=& \frac{2x}{2n+1}+x \\[5pt]
&=& \frac{2+2n+1}{2n+1}x \\[5pt]
&=& \frac{2n+3}{2n+1}x \\[5pt]
x &=& \frac{2n+1}{2n+3}(k+1) \\[5pt]
\end{eqnarray}となる。
以上から、この範囲での$D_n$の面積は
\begin{eqnarray}
& & \frac{1}{2} \left( 1-\frac{k}{n+\frac{1}{2} } \right) \left( \frac{2n+1}{2n+3}(k+1) -k \right) \\[5pt]
&=& \frac{1}{2} \left( 1-\frac{2k}{2n+1} \right) \frac{(2x+1)k-(2n+3)k+(2n+1)}{2n+3} \\[5pt]
&=& \frac{1}{2} \cdot \frac{2n+1-2k}{2n+1} \cdot \frac{-2k+2n+1}{2n+3} \\[5pt]
&=& \frac{(2n+1-2k)^2}{2(2n+1)(2n+3)} \\[5pt]
\end{eqnarray}
これを$k=0$から$k=n$まで足し合わせればいいので
\begin{eqnarray}
& & \sum_{k=0}^n \frac{(2n+1-2k)^2}{2(2n+1)(2n+3)} \\[5pt]
&=& \frac{1}{2(2n+1)(2n+3)} \sum_{k=0}^n \left\{ (2n+1)^2 -4k(2n+1)+4k^2 \right\} \\[5pt]
&=& \frac{1}{2(2n+1)(2n+3)} \\[5pt]
& & \times \left\{ (n+1)(2n+1)^2 -4\cdot \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1) +4\cdot\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \right\} \\[5pt]
&=& \frac{(n+1)(2n+1)}{2(2n+1)(2n+3)} \left\{ (2n+1) -2n +\frac{2}{3}n \right\} \\[5pt]
&=& \frac{n+1}{2(2n+3)} \cdot \frac{3+2n}{3} \\[5pt]
&=& \frac{n+1}{6} \\[5pt]
\end{eqnarray}が求める面積である。
【解答終】
【解説】
まずはガウス記号を外すために、扱いやすい区間に切って考えています。小さな三角形の面積を足せば求める面積になることがわかります。
とっつきにくく、最後の面積の和も計算しづらいため、難しい問題です。
